בסיס (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה

→ העריכה הקודמת העריכה הבאה ←

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

חזותיקוד ויקי

בשורה

גרסה מ־17:30, 23 ביולי 2006

שימו לב!
תוכן דף זה הוסר בשל חשד להפרת זכויות יוצרים. אפשר לשכתב את הערך, ללא הפרת זכויות יוצרים, בדף טיוטה.

המלל שפורסם כאן מועתק מהמקור הבא:

המקור שממנו הועתק התוכן

אנא אל תערכו דף זה כרגע, אפילו אם אתם משכתבים אותו (פעלו לפי ההוראות למטה).
למפרסמי המידע: אם הייתה לך רשות להשתמש בחומר תחת תנאי הרישיון שלנו או אם זכויות היוצרים במלל שבקישור החיצוני (לעיל) שייכות לך, יש לשלוח דוא"ל שכולל הצהרה על כך שזכויות היוצרים על הטקסט שייכות לך ושניתן לפרסם אותו תחת רישיון CC-BY-SA לכתובת permissions-he@wikimedia.org. פרטים נוספים ניתן למצוא בדף ויקיפדיה:OTRS.

אם לא הייתה לך רשות להשתמש בחומר זה, אפשר לכתוב במקומו קצרמר טוב בנושא בהסתמכות על המקור תוך הקפדה על זכויות יוצרים והסרת כל התוכן המפר זכויות יוצרים, או לעזוב דף זה כדי שיימחק.
לתשומת לבך: אם לא ייכתב קצרמר, המחיקה תתבצע כשבוע לאחר שדף זה נרשם בקטגוריית הפרות זכויות יוצרים. הרישום היה ב־23/07/2006(17:30, 23 יולי 2006 (IDT)). אם לא יתקבל מענה או אם העבודה לא תתחיל בחלקו הראשון של השבוע, ייתכן שהדף יימחק עוד קודם לכן.

הפרסום המקורי עדיין נגיש באמצעות הלשונית "גרסאות קודמות" בדף זה.

לתשומת לבך: פרסום חומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות מפורשת מהמחזיקים בזכויות עלול להיות בניגוד לחוק ולמדיניות שלנו. משתמשים בעלי היסטוריה של הפרות עשויים להיחסם מעריכת דפים. גם אם בפעם זו אכן הפרת זכויות יוצרים, עדיין נשמח לקבל תרומות מקוריות משלך.
תודה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-'''בסיס לטופולוגיה''' הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שמאיחודיהן אפשר לקבל את כל הקבוצות הפתוחות השייכות ל[[מרחב טופולוגי|טופולוגיה]].
+{{הפרת זכויות יוצרים|מקור= המקור שממנו הועתק התוכן|זמן=23/07/2006(17:30, 23 יולי 2006 (IDT))}}
-== הגדרה פורמלית ==
-יהי <math>\ ( X , \tau )</math> [[מרחב טופולוגי]].
-אוסף קבוצות <math>\mathbb{B} \subset \tau</math> יקרא '''בסיס לטופולוגיה''' אם כל קבוצה בטופולוגיה ניתנת להצגה כאיחוד של איברי B. זה שקול לכך ש
-: <math>\ \forall x \in X , V \in \tau \ : \ x \in V \Rightarrow \exist B \in \mathbb{B} : x \in B \subset V</math>
-בסיס כזה נקרא לעיתים גם '''מערכת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] פונדמנטלית'''.
-== מושגים הקשורים בבסיס ==
-* '''בסיס מקומי (לוקלי)''': זהו בסיס לטופולוגיה סביב נקודה מסוימת במרחב X. באופן פורמלי, אוסף <math>\mathbb{B}_x \subset \tau</math> יקרא "בסיס לטופולוגיה בנקודה ב x" אם:  <math>\ \forall V \in \tau , x \in V \ : \ \exist B \in \mathbb{B}_x : x \in B \subset V</math>
-* נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את [[אקסיומת המניה הראשונה]] (או בקיצור: X ממנייה I) אם לכל נקודה ב-X קיים בסיס מקומי [[בן מניה]].
-* '''משקל''': משקל של מרחב טופולוגי, <math>\ w(X)</math> מוגדר להיות ה[[עוצמה]] הקטנה ביותר של בסיס (כלשהו) לטופולוגיה.
-* נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את [[אקסיומת המניה השניה]] (או בקיצור: X ממנייה II או מקיים מנייה II) אם המשקל שלו קטן או שווה ל[[אלף 0]] (כלומר: קיים בסיס לטופולוגיה ב X שהוא [[בן מניה]]).
-* אוסף של קבוצות חלקיות ל X , <math>\mathbb{S} \subset \tau</math>יקרא '''[[תת-בסיס]]''' אם אוסף כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מ S מהווה בסיס. אוסף S יקרא תת-בסיס של B אם אם כל איבר בבסיס B ניתן להצגה כחיתוך סופי של קבוצות מהתת-בסיס. כלומר: <math>\forall B \in \mathbb{B} : \exist n \in \mathbb{N} , \ S_1 \cdots S_n \in \mathbb{S} \ : \ B = S_1 \cap \cdots \cap S_n</math> .
-=== אפיון בסיס ותת-בסיס ===
-המשפט הבא נותן קריטריון פשוט לאפיון וזיהוי בסיס.
-'''משפט''': נניח ש X מרחב לא ריק. אזי אוסף <math>\mathbb{B}</math> של קבוצות חלקיות ל X יקרא '''בסיס''' [[אם ורק אם]] הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:
-# לכל <math>\ x \in X</math> קיימת קבוצה ב B המכילה אותו. במילים אחרות: <math>\ \bigcup{\mathbb{B}} \equiv \bigcup_{B \in \mathbb{B}}{B} = X</math>. כלומר: הבסיס [[כיסוי (טופולוגיה)|מכסה]] את X.
-# לכל <math>\ B_1 , B_2 \in \mathbb{B}</math> שאינן זרות ולכל <math>\ x \in B_1 \cap B_2</math> קיימת <math>\ B_3 \in \mathbb{B}</math> כך ש <math>\ x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2</math>.
-אם שתי תכונות אלה מתקיימות, האוסף <math>\ \tau = \{ \mbox{All unions of sets from } \mathbb{B} \}</math> הוא טופולוגיה על X.
-המשפט הבא מאפיין תתי-בסיס.
-'''משפט''': אוסף של תתי-קבוצות של X הוא תת-בסיס אם ורק אם הוא [[כיסוי (טופולוגיה)|מכסה]] את X (כלומר: איחוד כל הקבוצות באוסף שווה ל X).
-== דוגמאות ==
-* ב[[מרחב מטרי]], אוסף כל [[כדור (טופולוגיה)|הכדורים הפתוחים]] הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי ה[[מטריקה]].
-* מעל [[הישר הממשי]], הקבוצה <math>\ \mathbb{B} = \{ (a,\infty) | a \in \mathbb{R} \}</math> היא בסיס. הטופולוגיה שהוא משרה בעצם שווה לבסיס עצמו!
-* במרחב <math>\mathbb{R}</math> עם הטופולוגיה המטרית (ה[[מטריקה]] היא [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]]) הקבוצה <math>\ \mathbb{S} = \{ (a,\infty) , ( - \infty , b) | a,b \in \mathbb{R} \}  </math>  היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
-* [[הישר העשיר]] מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.
-----
-[[קטגוריה:טופולוגיה]]
-{{טופולוגיה}}
-{{נ}}