מרחב נורמי

מרחב נורמי הוא מרחב וקטורי שעליו מוגדרת נורמה. הנורמה היא מעין הכללה של מושג האורך או הגודל של וקטור.

מרחב נורמי שהוא מרחב שלם נקרא מרחב בנך.

מרחב מכפלה פנימית הוא בפרט מרחב נורמי, כאשר המכפלה פנימית משרה נורמה טבעית באופן הבא: $\ \|{\vec {V}}\|={\sqrt {\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle }}$ . מרחב נורמי כזה נקרא "מרחב אוקלידי", שכן נורמה המושרית ממכפלה פנימית זו מגדירה את מושג האורך בגאומטריה אוקלידית.

מרחב נורמי הוא בפרט מרחב מטרי, כאשר הנורמה משרה מטריקה טבעית באופן הבא: $\ d(x,y)=\|x-y\|$. בפרט גם זהו מרחב טופולוגי טבעי (ביחס לבסיס הכדורים הפתוחים במטריקה).

מרחבים נורמיים בעלי ממד סופי

ידוע כי במרחב נורמי $V$ בעל ממד סופי כל הנורמות שקולות. כלומר לכל זוג נורמות $\|\cdot \|_{1},\|\cdot \|_{2}$ קיימים קבועים ממשיים ואי-שליליים $c,C$, כך שלכל ${\vec {v}}\in V$ מתקיים $c\cdot \|{\vec {v}}\|_{1}\leq \|{\vec {v}}\|_{2}\leq C\cdot \|{\vec {v}}\|_{1}$.

כדי להראות זאת, מספיק להראות שכל הנורמות שקולות לנורמה האוקלידית: $\|{\vec {v}}\|=\|(v_{1},...,v_{n})\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left|v_{i}\right|^{2}}}}$.

ניתן להראות כי השקילות של נורמה כלשהי $\|\cdot \|^{*}$ לנורמה האוקלידית $\|\cdot \|$ מתקבלת על ידי $c\cdot \|{\vec {v}}\|\leq \|{\vec {v}}\|^{*}\leq C\cdot \|{\vec {v}}\|$ כאשר את הקבועים $c,C$ ניתן לבחור באופן הבא:

• קביעת $C$: קובעים בסיס של המרחב $\left\{\rho _{1},...,\rho _{n}\right\}$, ומגדירים $C:={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\|\rho _{i}\|^{2}}}}$.
• קביעת $c$: מגדירים אופרטור $f(u)=\|\sum _{i=1}^{n}u_{i}\cdot \rho _{i}\|$ על מעגל היחידה (כלומר לכל וקטור $u$ המקיים $\|u\|=1$). מקומפקטיות מעגל היחידה ורציפות האופרטור $f$ נובע שמתקבל מינימום עבור איזשהו $u'$, ומגדירים $c:=f(u')$.

קישורים חיצוניים

• Equivalence of Norms in Finite Dimension, Colorado State University

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.