משפט הפונקציה ההפוכה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עדכון, ניסוח, הרחבה |
מ ניסוח |
||
שורה 4: | שורה 4: | ||
תהי <math>A\subset\mathbb{R}^{n}</math> קבוצה פתוחה ותהי <math>f:A\longrightarrow\mathbb{R}^{n}</math> גזירה ברציפות. תהי <math>a\in A</math> עבורה ה[[יעקוביאן]] בנקודה <math>J_{f}(a)\neq0</math>. קיימת קבוצה פתוחה <math>W\subset A</math> המקיימת <math> a\in W</math>, וקיימת קבוצה <math>U\subset W</math> כך ש<math>f</math> חד חד ערכית ב <math>U</math> . |
תהי <math>A\subset\mathbb{R}^{n}</math> קבוצה פתוחה ותהי <math>f:A\longrightarrow\mathbb{R}^{n}</math> גזירה ברציפות. תהי <math>a\in A</math> עבורה ה[[יעקוביאן]] בנקודה <math>J_{f}(a)\neq0</math>. קיימת קבוצה פתוחה <math>W\subset A</math> המקיימת <math> a\in W</math>, וקיימת קבוצה <math>U\subset W</math> כך ש<math>f</math> חד חד ערכית ב <math>U</math> . |
||
כמו כן, <math>\ V=f(U)</math> היא גם כן פתוחה והפונקציה ההפוכה <math>f^{-1}:V\longrightarrow U</math> גם כן גזירה ברציפות ו[[מטריצת יעקובי]] של <math>\ f^{-1}</math> מקיימת: <math> D_{f^{-1}}(f(x))=D_{f}^{-1}(x)</math> לכל <math>x\in U</math> |
|||
== מקרה פרטי == |
== מקרה פרטי == |
גרסה מ־20:21, 29 ביוני 2015
במתמטיקה, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה רציפה היא הפיכה.
ניסוח
תהי קבוצה פתוחה ותהי גזירה ברציפות. תהי עבורה היעקוביאן בנקודה . קיימת קבוצה פתוחה המקיימת , וקיימת קבוצה כך ש חד חד ערכית ב .
כמו כן, היא גם כן פתוחה והפונקציה ההפוכה גם כן גזירה ברציפות ומטריצת יעקובי של מקיימת: לכל
מקרה פרטי
זהי הכללה של המקרה הפרטי בו : תהי גזירה ברציפות. תהי נקודה המקיימת
מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת שלכל ,.
נניח כי אז מהיות רציפה, לכל , שהרי אחרת היה קיים , ממשפט ערך הביינים.
לכן מונוטונית עולה ממש בכל גורר ש חד חד ערכית בכל . מכאן ניתן להגדיר הגזירה בכל נקודה פנימית ב על פי הגדרת הנגזרת של פונקציה הפיכה: כי ובקטע זה הנגזרת של שונה מ-0.