תבנית קילינג – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ סיגנון
שורה 4: שורה 4:
== הגדרה פורמלית ==
== הגדרה פורמלית ==


תהי '''L''' [[אלגברת לי]] נתונה מעל שדה '''F'''. '''תבנית קילינג''' של '''L''' היא התבנית
תהי <math>L</math> [[אלגברת לי]] נתונה מעל שדה <math>F</math>. '''תבנית קילינג''' של <math>L</math> היא התבנית
<center>
::::::: <math>k(x,y)=\operatorname{Tr}(\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y))</math>,
<math>k(x,y)=\operatorname{Tr}(\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y)</math>
כאשר '''ad''' הוא ה[[ייצוג הצמוד]] (adjoint representation) ו-'''Tr'''היא ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]].
</center>
כאשר <math>\operatorname{ad}</math> הוא ה[[ייצוג הצמוד]] (adjoint representation) ו-<math>\operatorname{Tr}</math> היא ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]].


==תכונות בסיסיות==
==תכונות בסיסיות==
שורה 16: שורה 18:
* ה[[תבנית בילינארית| רדיקל]] <math>Rad(k)</math> של תבנית קילינג הוא [[אידאל (אלגברת לי)|אידאל]].
* ה[[תבנית בילינארית| רדיקל]] <math>Rad(k)</math> של תבנית קילינג הוא [[אידאל (אלגברת לי)|אידאל]].


* התבנית נשמרת על ידי [[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של '''L''', כלומר <math>k(g(x),g(y))=k(x,y)</math> לכל אוטומורפיזם '''g''' של '''L'''.
* התבנית נשמרת על ידי [[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של <math>L</math>, כלומר <math>k(g(x),g(y))=k(x,y)</math> לכל אוטומורפיזם <math>g</math> של <math>L</math>.


== הקשר לאלגברות לי פשוטות למחצה ==
== הקשר לאלגברות לי פשוטות למחצה ==
שורה 22: שורה 24:
בעזרת תבנית קילינג אפשר לנסח [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיותה של [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]]:
בעזרת תבנית קילינג אפשר לנסח [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיותה של [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]]:


'''משפט:''' תהי אלגברת לי '''L''' מעל [[שדה סגור אלגברית]] ובעל [[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס. אז '''L''' היא פשוטה למחצה [[אם ורק אם]] תבנית קילינג שלה [[תבנית בילינארית|רגולרית]].
'''משפט:''' תהי אלגברת לי <math>L</math> מעל [[שדה סגור אלגברית]] ובעל [[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס. אז <math>L</math> היא פשוטה למחצה [[אם ורק אם]] תבנית קילינג שלה [[תבנית בילינארית|רגולרית]].


'''הוכחה:''' נניח ש'''L''' פשוטה למחצה. נוכיח כי <math>Rad(k)</math> אידאל פתיר, ולכן אפס. יהיו <math>x \in Rad(k) , y \in L</math>, מתקיים <math>Tr(ad(x)ad(y))=0</math>. זה נכון בפרט ל-<math>y \in [Rad(k),Rad(k)] \subseteq L</math>, ולכן לפי [[קריטריון קרטן]] <math>Rad(k)</math> פתיר.
'''הוכחה:''' נניח ש-<math>L</math> פשוטה למחצה. נוכיח כי <math>\operatorname{Rad}(k)</math> אידאל פתיר, ולכן אפס. יהיו <math>x \in \operatorname{Rad}(k) , y \in L</math>, מתקיים <math>\operatorname{Tr}(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)=0</math>. זה נכון בפרט ל-<math>y \in [\operatorname{Rad}(k),\operatorname{Rad}(k)] \subseteq L</math>, ולכן לפי [[קריטריון קרטן]] <math>\operatorname{Rad}(k)</math> פתיר.


''בכיוון ההפוך'', נניח ש-'''k''' רגולרית, כלומר <math>Rad(k)=0</math>. [[תנאי מספיק]] (ובעצם שקול) להיותה של '''L''' פשוטה למחצה הוא שכל [[אידאל (אלגברת לי)|אידאל]] אבלי (אידאל '''I''' המקיים <math>[I,I]=0</math>) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה ב[[אלגברת לי פתירה|סדרת הנגזרת]] שלו שיהיה אבלי ולא אפס).
''בכיוון ההפוך'', נניח ש-<math>k</math> רגולרית, כלומר <math>\operatorname{Rad}(k)=0</math>. [[תנאי מספיק]] (ובעצם שקול) להיותה של <math>L</math> פשוטה למחצה הוא שכל [[אידאל (אלגברת לי)|אידאל]] אבלי (אידאל <math>I</math> המקיים <math>[I,I]=0</math>) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה ב[[אלגברת לי פתירה|סדרת הנגזרת]] שלו שיהיה אבלי ולא אפס).


אם כן יהי '''I''' אידאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו <math>x \in I, y \in L</math>, נביט במיפוי <math>ad(x)ad(y):L \rightarrow I</math>. אזי המיפוי בריבוע הוא <math>{(ad(x)ad(y))}^{2}:L \rightarrow [I,I]=0</math>, לכן <math>ad(x)ad(y)</math> [[איבר נילפוטנטי]], ולכן <math>k(x,y)=Tr(ad(x)ad(y))=0</math>. כלומר <math>I \subseteq
אם כן יהי <math>I</math> אידאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו <math>x \in I, y \in L</math>, נביט במיפוי <math>\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y:L \rightarrow I</math>. אזי המיפוי בריבוע הוא <math>{(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)}^{2}:L \rightarrow [I,I]=0</math>, לכן <math>\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y</math> [[איבר נילפוטנטי]], ולכן <math>k(x,y)=Tr(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)=0</math>. כלומר <math>I \subseteq \operatorname{Rad}(k)=0</math>, ולכן הוא אפס.
Rad(k)=0</math>, ולכן הוא אפס.


== דוגמה ==
== דוגמה ==

גרסה מ־13:30, 1 ביולי 2015

באלגברה מופשטת, תבנית קילינג (נקראת על שם וילהלם קילינג) היא תבנית בילינארית הקשורה לאלגברת לי נתונה. תפקידה המרכזי הוא במתן תנאי הכרחי ומספיק להיותה של אלגברת לי פשוטה למחצה.


הגדרה פורמלית

תהי אלגברת לי נתונה מעל שדה . תבנית קילינג של היא התבנית

כאשר הוא הייצוג הצמוד (adjoint representation) ו- היא העקבה.

תכונות בסיסיות

  • תבנית קילינג היא סימטרית.
  • תבנית קילינג אסוציאטיבית, במובן ש-.
  • התבנית נשמרת על ידי אוטומורפיזמים של , כלומר לכל אוטומורפיזם של .

הקשר לאלגברות לי פשוטות למחצה

בעזרת תבנית קילינג אפשר לנסח תנאי הכרחי ומספיק להיותה של אלגברת לי פשוטה למחצה:

משפט: תהי אלגברת לי מעל שדה סגור אלגברית ובעל מאפיין אפס. אז היא פשוטה למחצה אם ורק אם תבנית קילינג שלה רגולרית.

הוכחה: נניח ש- פשוטה למחצה. נוכיח כי אידאל פתיר, ולכן אפס. יהיו , מתקיים . זה נכון בפרט ל-, ולכן לפי קריטריון קרטן פתיר.

בכיוון ההפוך, נניח ש- רגולרית, כלומר . תנאי מספיק (ובעצם שקול) להיותה של פשוטה למחצה הוא שכל אידאל אבלי (אידאל המקיים ) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה בסדרת הנגזרת שלו שיהיה אבלי ולא אפס).

אם כן יהי אידאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו , נביט במיפוי . אזי המיפוי בריבוע הוא , לכן איבר נילפוטנטי, ולכן . כלומר , ולכן הוא אפס.

דוגמה

כאמור תבנית קילינג מהווה קריטריון להיות של אלגברת לי פשוטה למחצה. בעזרתה אפשר להוכיח כי האלגברה פשוטה למחצה.

אכן, חישוב ישיר של המטריצה המייצגת את התבנית לפי הבסיס מביא למטריצה שהיא מטריצה הפיכה.

זוהי למעשה דוגמה לאלגברת לי פשוטה למחצה מממד 3, הנמוך ביותר האפשרי (כל אלגברת לי ממד 1 או 2 אינה פשוטה למחצה).