פונקציית הערך השלם – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←‏פונקציית תקרה: הרחבה - שימוש במסגרת גבולות של סדרות
שורה 31: שורה 31:


לכל k מספר ממשי מתקיים: <math>\lfloor k \rfloor \le k \le \lceil k \rceil</math>.
לכל k מספר ממשי מתקיים: <math>\lfloor k \rfloor \le k \le \lceil k \rceil</math>.

===שימושים===
במסגרת הגדרת [[גבול של סדרה]] האינדקס <math>\ N_0</math> הוא [[מספר טבעי]] (<math>\ N_0 \in \mathbb{N} </math>) שממנו והלאה כל אברי ה[[סדרה]] נמצאים ב[[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] של ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]]. לעיתים במהלך החישוב או ההוכחה של גבול של סדרה מסוימת יתקבל [[מספר ממשי]] חיובי שאינו [[מספר שלם|שלם]]. במקרה זה האינדקס <math>\ N_0</math> יהיה [[פונקציית הערך השלם|הערך השלם העליון]] של המספר שהתקבל בחישוב. שכן משום שהוא גדול יותר מהמספר שהתקבל, גם ממנו והלאה אברי הסדרה יתכנסו לעבר הגבול. כדי להדגיש שמדובר בערך העליון (פונקציית התקרה) הוא יסומן כך: <math>\lceil N \rceil</math>


==ראו גם==
==ראו גם==

גרסה מ־09:46, 19 בספטמבר 2015

במתמטיקה, פונקציית הערך השלם (נקראת גם פונקציית רִצפה) היא פונקציה המחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-x (מעגלת כלפי מטה). פונקציה זו מסומנת , או (x)‏floor. דוגמאות: , , .

במדעי המחשב הפונקציה נקראת Trunc, קיצור של Truncate. רמז לתיאור הציורי שלה כפונקציה שלוקחת מספר ממשי ו"מקצצת" את החלק השברי שלו ומשאירה רק את החלק השלם, כלומר מעגלת כלפי מטה (פונקציית רצפה). כאשר משתמשים במונח "פונקציית הערך השלם" סתם מבלי לפרט מתכוונים לפונקציית הרצפה. כאשר מתכוונים לפונקציית התקרה (שמעגלת כלפי מעלה) מציינים זאת במפורש.

תכונות של פונקציית רִצפה

הגרף של פונקציית הערך השלם (פונקציית רצפה)
  • לכל x ממשי הפונקציה מקיימת:

כאשר השוויון באגף שמאל מתקיים אם ורק אם x שלם.
ניתן לתאר זאת גם כך:
  • הפונקציה היא אידמפוטנטית:
  • לכל x ממשי ולכל n שלם מתקיים:
  • עיגול למספר השלם הקרוב ביותר ל-x ניתן על ידי הנוסחה .
  • אם m ו-n זרים זה לזה, אזי מתקיים:

פונקציית תקרה

הגרף של פונקציית תקרה

פונקציית התקרה מחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל-x. הפונקציה מסומנת או (x)‏ceiling. ניתן לתאר את פונקציה התקרה כך:

דוגמאות: , , .

הקשר בין פונקציית הרצפה לבין פונקציית התקרה ניתן על ידי הנוסחה .

לכל k שלם מתקיים: .

לכל k מספר ממשי מתקיים: .

שימושים

במסגרת הגדרת גבול של סדרה האינדקס הוא מספר טבעי () שממנו והלאה כל אברי הסדרה נמצאים בסביבה של הגבול. לעיתים במהלך החישוב או ההוכחה של גבול של סדרה מסוימת יתקבל מספר ממשי חיובי שאינו שלם. במקרה זה האינדקס יהיה הערך השלם העליון של המספר שהתקבל בחישוב. שכן משום שהוא גדול יותר מהמספר שהתקבל, גם ממנו והלאה אברי הסדרה יתכנסו לעבר הגבול. כדי להדגיש שמדובר בערך העליון (פונקציית התקרה) הוא יסומן כך:

ראו גם

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית הערך השלם בוויקישיתוף