פונקציית הערך השלם

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציית הערך השלם (נקראת גם פונקציית רִצפה) היא פונקציה המחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-x (מעגלת כלפי מטה). פונקציה זו מסומנת $\lfloor x\rfloor$, $\ [x]$ או (x)‏floor. דוגמאות: $\lfloor 2.7\rfloor =2$, $\lfloor -2.1\rfloor =-3$, $\lfloor -2\rfloor =-2$.

במדעי המחשב הפונקציה נקראת Trunc, קיצור של Truncate. רמז לתיאור הציורי שלה כפונקציה שלוקחת מספר ממשי ו"מקצצת" את החלק השברי שלו ומשאירה רק את החלק השלם, כלומר מעגלת כלפי מטה (פונקציית רצפה). כאשר משתמשים במונח "פונקציית הערך השלם" סתם מבלי לפרט מתכוונים לפונקציית הרצפה. כאשר מתכוונים לפונקציית התקרה (שמעגלת כלפי מעלה) מציינים זאת במפורש.

פונקציית רִצפה

הגרף של פונקציית הערך השלם (פונקציית רצפה)

על פי תכונת ארכימדס, לכל מספר ממשי קיים מספר טבעי שגדול ממנו. נובע מכאן שהמרחב המטרי של המספרים הממשיים הוא מרחב ספרבילי, משום שקבוצת המספרים הרציונליים, שהיא בת מנייה, היא קבוצה צפופה (שכן כל קטע פתוח מכיל מספר רציונלי). הצפיפות הזו מאפשרת להגדיר את הערך השלם של x, בתור המקסימום של $\{n\in \mathbb {Z} |\;x\ \leq n\}\!$ כך ש:

$\lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}$

תכונות של פונקציית רִצפה

• לכל x ממשי הפונקציה מקיימת:
  

$\lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1$

כאשר השוויון באגף שמאל מתקיים אם ורק אם x שלם.

• הפונקציה היא אידמפוטנטית: $\lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor$
• לכל x ממשי ולכל n שלם מתקיים:
  

$\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$

• עיגול למספר השלם הקרוב ביותר ל-x ניתן על ידי הנוסחה $\lfloor x+0.5\rfloor$.
• אם m ו-n זרים זה לזה, אזי מתקיים:
  

$\sum _{i=1}^{n-1}\lfloor im/n\rfloor =(m-1)(n-1)/2$

פונקציית תקרה

הגרף של פונקציית תקרה

פונקציית התקרה מחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל-x. הפונקציה מסומנת $\lceil x\rceil$ או (x)‏ceiling. ניתן לתאר את פונקציה התקרה כך:

$\lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}$

דוגמאות: $\lceil 2.7\rceil =3$, $\lceil -2.1\rceil =-2$, $\lceil -2\rceil =-2$.

הקשר בין פונקציית הרצפה לבין פונקציית התקרה ניתן על ידי הנוסחה $\lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor$.

לכל k שלם מתקיים: $\lfloor k/2\rfloor +\lceil k/2\rceil =k$.

לכל k מספר ממשי מתקיים: $\lfloor k\rfloor \leq k\leq \lceil k\rceil$.

ראו גם

• עיגול (אריתמטיקה)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית הערך השלם בוויקישיתוף