יופי מתמטי – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←‏הערות שוליים: לא ממש מושג במתמטיקה
שורה 31: שורה 31:
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}


[[קטגוריה:מושגים במתמטיקה]]
[[קטגוריה:פילוסופיה של המתמטיקה]]
[[קטגוריה:פילוסופיה של המתמטיקה]]

גרסה מ־20:59, 29 בדצמבר 2015

דוגמה ל"דרך הוכחה יפה"- הוכחה פשוטה ואלגנטית של משפט פיתגורס

הביטוי יופי המתמטיקה מבטא את ההנאה האסתטית שמתמטיקאים עשויים לייחס לעבודתם ולמתמטיקה בכלל. הם מבטאים הנאה זו על ידי התייחסות למתמטיקה (או לפחות לחלק מהיבטיה) כיפה. מתמטיקאים מתייחסים למתמטיקה כאל אומנות או לפחות כאל פעילות יצירתית ומרבים להשוות אותה למוזיקה ולשירה.

לדעתו של פול ארדש, לא ניתן לתאר במילים את המתמטיקה. במילותיו שלו: "מדוע המספרים יפים? זה כמו לשאול מדוע הסימפוניה התשיעית של בטהובן יפה. אם אתה לא מבחין בכך, אף אחד לא יוכל להסביר לך. אני יודע שהמספרים הם יפים. אם מספרים אינם יפים, שום דבר אינו יפה".[1]

דרך הוכחה יפה

מתמטיקאים מתארים דרך הוכחה מהנה באופן מיוחד כאלגנטית. על פי ההקשר, הכוונה יכולה להיות:

  • הוכחה שעושה שימוש במספר קטן ככל האפשר של הנחות או של תוצאות קודמות.
  • הוכחה תמציתית באופן מיוחד.
  • הוכחה המגיע לפתרון בדרך מפתיעה (למשל על ידי שימוש במשפט או משפטים מתחום שונה לחלוטין) 
  • הוכחה המבוססת על תובנות חדשות ומקוריות.
  • שיטת הוכחה שניתן יהיה ליישם אותה באופן פשוט על מנת להוכיח שורה של בעיות דומות.

במהלך החיפוש אחרי הוכחה אלגנטית, מתמטיקאים מנסים פעמים רבות למצוא פתרונות שונים לאותה בעיה, ההוכחה הראשונה לא תהיה בהכרח הטובה ביותר. סביר להניח כי המשפט שזכה למספר הגדול ביותר של הוכחות שונות הוא משפט פיתגורס, שפורסמו מאות הוכחות שונות שלו.[2] משפט נוסף שהוכח באופנים רבים ושונים הוא משפט ההדדיות הריבועית, קארל פרידריך גאוס לבדו פרסם הוכחות שונות למשפט זה. 

לעומת דרכי ההוכחה ה"יפות", תוצאות נכונות הכרוכות בחישובים מייגעים, שיטות משוכללות יתר על המידה, גישות קונבנציונליות או הנדרשות למספר רב של אקסיומות חזקות או תוצאות קודמות, אינן נחשבות, בדרך כלל, לאלגנטיות ועשויות להקרא מכוערות או מגושמות

תוצאה "יפה"

אם מתחילים ב e0 = 1 וממשיכים במהירות i במשך זמן π וביחס לנקודה מסוימת, הוספה של 1 תביא אל הנקודה 0 (התרשים מוצג במישור המרוכב).

לעתים מתמטיקאים מייחסים יופי לעבודות המקשרות שני תחומית במתמטיקה הנראים לא קשורים במבט ראשון. קישורים כאלה מתוארים פעמים רבות כעמוקים.

קשה למצוא תוצאות שיש הסכמה גורפת על כך שהן עמוקות, אולם ישנם מספר דוגמאות המובאות בדרך כלל, אחת מהן היא זהות אוילר:[3]

זהו מקרה פרטי של נוסחת אוילר, אשר הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן כינה "הנוסחא המדהימה ביותר במתמטיקה".[4]

דוגמאות מודרניות יותר הן משפט טניאמה-שימורה שיצר קשר חשוב בין עקומים אליפטיים לבין תבניות מודולריות (עבודה שזיכתה את אנדרו ויילס ואת לרוברט לנגלנדס בפרס וולף) וכן "המפלצות המטורללות" המקשרות בין תורת החבורות (חבורת פישר-גריס, "המפלצת") לתבניות מודולריות דרך תורת המיתרים (עבודה שזיכתה את ריצ'רד בורכרדס במדליית פילדס).[1]

לקריאה נוספת

הערות שוליים

  1. ^ Devlin, Keith (2000).
  2. ^ Elisha Scott Loomis published over 360 proofs in his book Pythagorean Proposition (ISBN 0-873-53036-5).
  3. ^ Gallagher, James (13 February 2014).
  4. ^ Feynman, Richard P. (1977).