יופי מתמטי

דוגמה ל"דרך הוכחה יפה" - הוכחה פשוטה ואלגנטית של משפט פיתגורס

יופי מתמטי הוא ההנאה האסתטית שמתמטיקאים עשויים לייחס לתוצאות מסוימות במתמטיקה. הם מבטאים הנאה זו על ידי התייחסות למתמטיקה (או לפחות לחלק מהיבטיה) כיפה. מתמטיקאים מתייחסים למתמטיקה כאל אמנות או לפחות כאל פעילות יצירתית ומרבים להשוות אותה למוזיקה ולשירה. נושא זה נדון על ידי הפילוסופיה של המתמטיקה.

דרך הוכחה יפה

מתמטיקאים מתארים דרך הוכחה מהנה באופן מיוחד כאלגנטית. על פי ההקשר, הכוונה יכולה להיות:

• הוכחה שעושה שימוש במספר קטן ככל האפשר של הנחות או של תוצאות קודמות.
• הוכחה תמציתית באופן מיוחד.
• הוכחה המגיעה לפתרון בדרך מפתיעה (למשל על ידי שימוש במשפט מתחום שונה לחלוטין).
• הוכחה המבוססת על תובנות חדשות ומקוריות.
• שיטת הוכחה שניתן יהיה ליישם באופן פשוט על מנת להוכיח שורה של בעיות דומות.

במהלך החיפוש אחרי הוכחה אלגנטית, מתמטיקאים מנסים פעמים רבות למצוא פתרונות שונים לאותה בעיה, ההוכחה הראשונה לא תהיה בהכרח הטובה ביותר. סביר להניח כי המשפט שזכה למספר הגדול ביותר של הוכחות שונות הוא משפט פיתגורס, שפורסמו מאות הוכחות שונות שלו. משפט נוסף שהוכח באופנים רבים ושונים הוא משפט ההדדיות הריבועית, קארל פרידריך גאוס לבדו פרסם מספר הוכחות שונות למשפט זה.

לעומת דרכי ההוכחה ה"יפות", תוצאות נכונות הכרוכות בחישובים מייגעים, שיטות משוכללות יתר על המידה, גישות קונבנציונליות או הנדרשות למספר רב של אקסיומות חזקות או תוצאות קודמות, אינן נחשבות, בדרך כלל, לאלגנטיות ועשויות להיקרא "מכוערות" או "מגושמות".

תוצאה "יפה"

אם מתחילים ב- e⁰ = 1 וממשיכים במהירות i במשך זמן π וביחס לנקודה מסוימת, הוספה של 1 תביא אל הנקודה 0 (התרשים מוצג במישור המרוכב).

לעתים מתמטיקאים מייחסים יופי לעבודות המקשרות שני תחומים במתמטיקה הנראים לא קשורים במבט ראשון. קישורים כאלה מתוארים פעמים רבות כעמוקים.

קשה למצוא תוצאות שיש הסכמה גורפת על כך שהן עמוקות, אולם ישנן מספר דוגמאות המובאות בדרך כלל, אחת מהן היא זהות אוילר:

$\displaystyle e^{i\pi }+1=0$

זהו מקרה פרטי של נוסחת אוילר, אשר הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן כינה "הנוסחה המדהימה ביותר במתמטיקה". היופי בזהות אוילר טמון בכך שהיא מאחדת לכדי משוואה קצרה אחת שלושה קבועים מתמטיים נודעים (e - בסיס הלוגריתם הטבעי, i - היחידה המדומה ו-π - היחס בין היקף מעגל לקוטרו) ואת שני המספרים הטבעיים הראשונים (0 ו-1).

דוגמאות מודרניות יותר הן משפט טניאמה-שימורה שיצר קשר חשוב בין עקומים אליפטיים לבין תבניות מודולריות (עבודה שזיכתה את אנדרו ויילס ואת לרוברט לנגלנדס בפרס וולף) וכן "המפלצות המטורללות" המקשרות בין תורת החבורות (חבורת פישר-גריס, "המפלצת") לתבניות מודולריות דרך תורת המיתרים (עבודה שזיכתה את ריצ'רד בורכרדס במדליית פילדס).

תחושת יופי

בתרבויות שנות ישנו עיסוק במתמטיקה טהורה בלי קשר ליישומיה המעשיים, כמו למשל ביוון העתיקה, בה "עסקו במתמטיקה לשם היופי שבה". יופי מתמטי נחווה לעתים גם מחוץ להקשר המתמטי. לדוגמה, ההנאה האסתטית שפיזיקאים תאורטיים נוטים לחוות מעיסוק בתורת היחסות הכללית של איינשטיין, יוחסה, (על ידי פול דיראק ואחרים) ליופי המתמטי שבה.

מידה מסוימת של הנאה מעריכת מניפולציות על מספרים וסמלים נדרשת כפי הנראה, בכל עיסוק במתמטיקה. בהתחשב בתועלת של מתמטיקה במדע ובהנדסה, לכל חברה טכנולוגית יש אינטרס לטפח הנאה אסתטית כזו, מבחינה פילוסופית, גם אם לא מבחינה מעשית.

יופי מתמטי נחווה כאשר אובייקטים מהמציאות הפיזית  מנוסחים על ידי מודלים מתמטיים מופשטים: מתמטיקאים מפתחים שדה מתמטי שלם ללא כל יישום מעשי, ושנים מאוחר יותר, פיסיקאים מגלים שענפים מתמטיים מופשטים אלה מתאימים לתצפיות שלהם. לדוגמא, תורת הקבוצות שפותחה בתחילת המאה ה19 אך ורק לשם פתרון משוואות פולינומיות, התגלתה כדרך היעילה ביותר לסווג חלקיקי היסוד-  אבני הבניין של החומר. באותו אופן, הסתבר כי תורת הקשרים, ענף מתמטי איזוטרי, מספק תובנות חשובות בתורת המיתרים ובכבידה קוונטית לולאתית.

החוויה העזה ביותר של יופי מתמטי נחווית לרוב רק בעת עיסוק פעיל במתמטיקה. כמעט בלתי אפשרי ליהנות או להעריך מתמטיקה באופן פסיבי לגמרי, מאחר ובמתמטיקה אין "תפקיד" של צופה, קהל, או מאזין. 

יופי ופילוסופיה

חלק מהמתמטיקאים סבורים כי "עשיית מתמטיקה" קרובה יותר לגילוי מאשר להמצאה: 

יש מתמטיקאים שמאמינים כי התוצאות המפורטות והמדויקות של המתמטיקה הן אמיתות אשר אינן תלויות ביקום בו אנו חיים. הם טוענים למשל, כי התאוריה של המספרים הטבעיים תקפה תמיד, באופן שאינו דורש כל הקשר ספציפי. מתמטיקאים מסוימים הרחיבו את ההשקפה שהיופי המתמטי הוא אמת מוחלטת, לעיתים עד לכדי מיסטיקה. 

המתמטיקאים הפיתגורים האמינו במציאות של מספרים. גילוים של המספרים האי רציונליים היה עבורם הלם, שכן הם האמינו שעצם קיומו של מספר שלא ניתן לבטא כיחס בין שני מספרים טבעיים פוגם בטבע. מנקודת מבט מודרנית, הגישה המיסטית שלהם למספרים עשויה להחשב נומרולוגיה. 

על פי הפילוסופיה האפלטונית העולם נחלק לשני חלקים נפרדים: העולם הפיזי, הנתפס באמצעות החושים ועולם ה"צורות" אשר ניתן להבנה אך ורק באמצעות השכל. עולם הצורות הוא עולם מופשט המכיל אידאות, אמיתות קבועות שביניהן המתמטיקה. אפלטון וממשיכיו האמינו כי העולם הפיזי הוא השתקפות של העולם המופשט והמושלם.  

לקריאה נוספת

• רון אהרוני, מתמטיקה שירה ויופי, הוצאת הקיבוץ המאוחד, 2008