גאומטריה אוקלידית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־20:37, 22 בפברואר 2016

גאומטריה אוקלידית היא התורה המתמטית של נקודות, ישרים ומעגלים במישור, המבוססת על האקסיומות שהציג וסיכם אוקלידס בספרו יסודות, והכללות שלה למרחב התלת-ממדי. מדידות לצרכים הנדסיים נעשו בכל רחבי העולם העתיק, אבל רק ביוון נבנתה עבורם מסגרת תאורטית שיטתית, שבליבה התהליך הדדוקטיבי שבו מקבלים משפט מהנחות יסוד ומשפטים קודמים.

במשך יותר מאלפיים שנה נקראה הגאומטריה האוקלידית פשוט "גאומטריה", משום שהייתה הגאומטריה היחידה. ניסיונות להוכיח את אקסיומת המקבילים הביאו במאה ה-19 לפיתוחן של גאומטריות אלטרנטיביות, שאינן מקבלות את האקסיומה הזו, והן קרויות גאומטריות לא אוקלידיות.

גאומטריה אוקלידית נמנית עם ענפי המתמטיקה המעטים הנלמדים בבית הספר היסודי והתיכון. במסגרת זו יש המבחינים, משיקולים דידקטיים, בין גאומטריית המישור (או הנדסת המישור), העוסקת בגופים מישוריים בלבד, כגון משולש ומעגל, ובין גאומטריית המרחב (או הנדסת המרחב), העוסקת בגופים תלת-ממדיים, כגון פירמידה , קובייה וכדור.

אקסיומות

אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות ספרו "יסודות", ביסס את הגאומטריה המישורית על שני מושגי יסוד, הנקודה, הישר, שאינם מוגדרים, ומקבלים את משמעותם והתכונות שלהם מן האקסיומות שהם מקיימים. הנקודה והישר מאפשרים להגדיר את המעגל והזווית, המקיימים יחד חמש הנחות יסוד כלליות, וחמש אקסיומות:

אפשר להעביר קטע ישר בין שתי נקודות ללא יוצא מן הכלל.
אפשר להמשיך קטע ישר ללא גבול.
אפשר לתאר מעגל על-פי מרכז ורדיוס.
כל הזוויות הישרות שוות ביניהן.
אם שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי באופן שסכום הזויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו. (השקולה לטענה: דרך ישר כלשהו ונקודה שאיננה על הישר, ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שלא ייחתך עם הישר הנתון.)

האקסיומה החמישית, המכונה "אקסיומת המקבילים", נראתה למתמטיקאים לאורך ההיסטוריה מובנת מאליה, והם ניסו להוכיח אותה באמצעות האקסיומות שלפניה. אולם במאה ה-19 הוכח שהדבר בלתי אפשרי, על ידי יצירת הגאומטריה ההיפרבולית שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא גאומטריה לא-אוקלידית. באותה תקופה גם ניתן לגאומטריה שבה אנו עוסקים בערך זה השם "גאומטריה אוקלידית" כדי להבדילה מהגאומטריה הלא-אוקלידית.

האקסיומות שהציע אוקלידס אינן מספיקות לביסוס של הגאומטריה במידת הקפדנות המקובלת היום; במקומן מקובל להשתמש במערכת האקסיומות של הילברט שהציע דויד הילברט בסוף המאה ה-19.

פיתוח גאומטריית המרחב דורש את מושג המישור, המאופיין בכך שדרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.

ראו גם

הצורות הגאומטריות: משולש - מרובע - מצולע - מעגל - פרבולה - אליפסה - היפרבולה - חרוט - קובייה - ארבעון - איקוסהדרון - דודקהדרון - כדור
מערכת האקסיומות של הילברט
גאומטריה לא-אוקלידית
משפט פיתגורס
משפט צ'בה
משפט מנלאוס

לקריאה נוספת

דיבשה אמירה, ביסוס אכסיומתי ליסודות הגאומטריה, הוצאת עם עובד ודביר, 1962
Euclid's Elements, "היסודות", ספרו של אוקלידס, בתרגום לאנגלית

קישורים חיצוניים

הדגמה ויזואלית של המשפטים בגאומטריה אוקלידית (הנדסת המישור) לבחינת הבגרות במתמטיקה, לפי רשימת משרד החינוך – אתר המרכז לתכנון לימודים, מכללת קיי

@@ שורה 8: / שורה 8: @@
 ==אקסיומות==
 אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות [[ספר|ספרו]] "[[יסודות (ספר)|יסודות]]", ביסס את הגאומטריה המישורית על שני מושגי יסוד, ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]], ה[[ישר]], שאינם מוגדרים, ומקבלים את משמעותם והתכונות שלהם מן האקסיומות שהם מקיימים. הנקודה והישר מאפשרים להגדיר את המעגל והזווית, המקיימים יחד חמש הנחות יסוד כלליות, וחמש [[אקסיומה|אקסיומות]]:
-#אפשר להעביר [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] ישר בין שתי נקודות.
+#אפשר להעביר [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] ישר בין שתי נקודות ללא יוצא מן הכלל.
 #אפשר להמשיך קטע ישר ללא גבול.
 #אפשר לתאר מעגל על-פי מרכז ו[[רדיוס]].

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: גאומטריה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: גאומטריה אוקלידית