מישור (גאומטריה) – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←‏הצגה פרמטרית: הסרת תגיות "<math>" מתוכן קישור, כי יש כרגע באג עם זה בוויקיפדיה.
שורה 25: שורה 25:
הצגות אלה מאפשרות לחשב בקלות תכונות של המישורים המתוארים, בדומה למצב ב[[ישר]]ים. לדוגמה, המרחק של נקודה <math>\ (x_0,y_0,z_0)</math> מן המישור <math>\ ax+by+cz+d=0</math> הוא <math>\ \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>.
הצגות אלה מאפשרות לחשב בקלות תכונות של המישורים המתוארים, בדומה למצב ב[[ישר]]ים. לדוגמה, המרחק של נקודה <math>\ (x_0,y_0,z_0)</math> מן המישור <math>\ ax+by+cz+d=0</math> הוא <math>\ \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>.


דרך נוספת להצגת מישור במרחב <math>\ n</math> ממדי היא כ[[מערכת משוואות לינאריות|צירוף של <math>\ n-2</math> משוואות לינאריות]].
דרך נוספת להצגת מישור במרחב <math>\ n</math> ממדי היא כ[[מערכת משוואות לינאריות|צירוף של n-2 משוואות לינאריות]].


==דרכי הגדרה==
==דרכי הגדרה==

גרסה מ־02:32, 14 במרץ 2016

בגאומטריה, מישור הוא מושג יסודי, המשקף את העצם הדו-ממדי הבסיסי. ניתן לדמיין מישור כפיסת נייר אינסופית לכל הכיוונים.

שני מישורים החותכים זה את זה

חלק גדול מן הגאומטריה, הטריגונומטריה ותורת הגרפים הוא דו-ממדי, כלומר, עוסק במישור.

המישור הוא מושג יסודי בגאומטריה האוקלידית וגם בגאומטריות אחרות. בהמשך מדובר במישור במסגרת הגאומטריה האוקלידית.

בהינתן מישור, ניתן להשליך עליו מערכת צירים קרטזית כדי להיות מסוגלים לציין כל נקודה במישור בעזרת שני ערכים - הקוארדינטות של הנקודה. ניתן לעשות דבר דומה עם מערכת צירים קוטבית, שבה כל נקודה מזוהה על ידי שני ערכים - זווית ומרחק מהמרכז.

המישור שבו עוסקת הגאומטריה נקרא המישור האוקלידי והוא מקרה פרטי של מרחב מכפלה פנימית ממשי, ונהוג לסמנו . המישור האוקלידי הוא גם מרחב טופולוגי ובפרט מרחב מטרי עם המטריקה המושרית מהמכפלה הפנימית .

הצגות

הצגה אלגברית

במערכת צירים תלת ממדית --, אפשר להגדיר מישור כמקום הגאומטרי של כל פתרונות המשוואה

,

כאשר , , ו- הם מספרים ממשיים ולא כל המקדמים שווים לאפס. אפשר לכתוב גם , כאשר הוא הווקטור (שלמעשה מהווה הנורמל של המישור) ו- הוא הווקטור . אם היא נקודה על המישור ניתן להציגו על ידי המשוואה או בכתיב מפורש לפי קואורדינטות:

.

במילים אחרות, המישור הוא קבוצת כל פתרונות המשוואה

.

המישור הוא תת-מרחב וקטורי אם ורק אם הוא עובר דרך הראשית (כלומר: הוא פיתרון של מערכת המשוואות המגדירה את המישור).

הצגה פרמטרית

בהצגה פרמטרית מגדירים מישור באמצעות נקודה על המישור וצירוף לינארי של שני וקטורים הפורשים את המישור

אפשר לתאר מישור גם באופן פרמטרי (הגדרה כזאת טובה לכל מרחב n ממדי) כקבוצת כל הנקודות מהמשוואה כש- ו- הם סקלרים היכולים לקבל את כל ערכי הממשיים, הוא וקטור הקובע נקודה על המישור, ו- ו- הם וקטורים הפורשים את המישור (בתנאי שאין סקלר המקיים , כי אחרת המשוואה תתאר ישר ולא מישור).

הצגות אלה מאפשרות לחשב בקלות תכונות של המישורים המתוארים, בדומה למצב בישרים. לדוגמה, המרחק של נקודה מן המישור הוא .

דרך נוספת להצגת מישור במרחב ממדי היא כצירוף של n-2 משוואות לינאריות.

דרכי הגדרה

ניתן להגדיר מישור מסוים על ידי הצירופים הבאים:

  • שלוש נקודות שאינן על ישר אחד
  • ישר ונקודה שאינה עליו
  • נקודה וישר שהוא הנורמל למישור
  • שני ישרים הנחתכים בנקודה או המקבילים זה לזה

במרחב תלת ממדי, שני מישורים יכולים להיות מקבילים זה לזה או לחתוך זה את זה בישר. הזווית בין שני המישורים נקראת זווית דו-מישור. ישר שאינו מקביל למישור נתון חותך את המישור הזה בנקודה אחת.