חוק סטוקס – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 50: שורה 50:
<math>r^4\frac{\partial^4 f(r)}{\partial r^4} - 4r^2\frac{\partial^2 f(r)}{\partial r^2} + 8r\frac{\partial f(r)}{\partial r} - 8f(r) = 0</math>.
<math>r^4\frac{\partial^4 f(r)}{\partial r^4} - 4r^2\frac{\partial^2 f(r)}{\partial r^2} + 8r\frac{\partial f(r)}{\partial r} - 8f(r) = 0</math>.


ננחש פתרון מהצורה <math>f(r) = r^k</math> ונקבל לאחר צמצום <math>f(r) = r^{{k - 4}}</math> את הפולינום <math>k^4 - 6k^3 + 7k^2 + 6k - 8 = 0</math>, אשר לו פתרונות <math>k = -1,+1,+2,+4</math>. לפיכך הפתרון למשוואה הוא סכום של חזקות אלה של r, כלומר הוא מהצורה:
ננחש פתרון מהצורה <math>f(r) = r^k</math> ונקבל לאחר צמצום <math> r^{{k - 4}}</math> את הפולינום <math>k^4 - 6k^3 + 7k^2 + 6k - 8 = 0</math>, אשר לו פתרונות <math>k = -1,+1,+2,+4</math>. לפיכך הפתרון למשוואה הוא סכום של חזקות אלה של r, כלומר הוא מהצורה:


<math>f(r) = \frac {A}{r} + Br + Cr^2 + Dr^4 </math>.
<math>f(r) = \frac {A}{r} + Br + Cr^2 + Dr^4 </math>.

גרסה מ־12:02, 26 באפריל 2016

חוק סטוקס בהידרודינמיקה עוסק בתנועת גוף בתווך צמיג. החוק קרוי על שמו של הפיזיקאי האנגלי ג'ורג' סטוקס אשר ניסח אותו בשנת 1851.

על פי חוק סטוקס, כוח הגרר (כוח ה"חיכוך" המתנגד לתנועת הגוף) על כדור ברדיוס הנע במהירות בתווך בעל מקדם צמיגות נתון על ידי:

חוק סטוקס תקף בגבול של מספר ריינולדס קטן () בו הצמיגות דומיננטית יחסית לאינרציה. במקרה זה ניתן לקבל את חוק סטוקס על ידי פתרון של משוואת נאווייה-סטוקס בהזנחת אברי האינרציה.

היחס הישר בין כוח הגרר ובין המהירות מתקיים גם לגופים בעלי צורה לא כדורית, אולם עבורם לא ניתן לחשב את מקדם הפרופורציה במדויק. עבור תנועה במהירויות גבוהות (מספר ריינולדס לא קטן) חוק סטוקס נשבר ובגבול של מספר ריינולדס גדול כוח הגרר מתכונתי ל-. עם זאת, חוק סטוקס תקף במגוון רחב של מצבים ויש לו חשיבות גדולה בחקר תנועת גופים בתווך צמיג, כמו למשל מחקר של תנועת מיקרואורגניזמים ותאים בנוזל.

גזירת חוק סטוקס

תבנית:פסקה בעבודה בגלל הסימטריה הגלילית של הבעיה יחסית לציר שכיוונו ככיוון מהירות התנועה של הכדור, נוח יותר להציג את הבעיה במערכת קואורדינטות כדוריות שראשיתה במרכז הכדור. במערכת צירים כזאת למהירות הזרימה הצמיגה והאי-דחיסה מסביב לכדור לא תהיה רכיב מהירות אזימוטלי אלא רק רכיב מהירות רדיאלי ורכיב מהירות משיקי. העובדה שהדיברגנץ של שדה הזרימה מסביב לכדור הוא אפס מאפשרת להציג את פונקציית הזרימה (פונקציית הזרימה של סטוקס) הבאה:

.

כדי לתאר את פילוג הלחץ במרחב מסביב לכדור נשתמש בהנחות שהזרימה היא תמידית (כלומר הנגזרת הזמנית של וקטור המהירות בנקודה כלשהי היא אפס) ושהזרימה היא ניוטונית , ולכן גרדיאנט הלחץ שווה למכפלת מקדם הצמיגות בלפלסיאן של שדה המהירות:

.

כיוון שערבוליות הזרימה בנקודה שווה לגרדיאנט המהירות המקומי, הלפלסיאן של שדה המהירות ניתן לחישוב על ידי לקיחת הרוטור של שדה המהירות פעמיים, כלומר לקיחת הרוטור של הערבוליות. מהצבת הביטויים ל- ו- מקבלים:


את הפעולה נסמן כאופרטור E. כיוון שלקיחת הרוטור של הערבוליות נותנת את שדה גרדיאנט הלחץ, לקיחת הרוטור פעם נוספת תיתן אפס (הרוטור של שדה גרדיאנט הוא אפס). הצבה מפורשת נותנת:

.

ננחש פתרון מהצורה . האופרטור E כאשר הוא פועל על פונקציה מהצורה הזאת שקול (ניתן להראות זאת) לאופרטור: , כלומר הצורה הפונקציונלית נשמרת, ולכן הפעלת האופרטור פעמיים נותנת, לאחר גזירה ארוכה וכפל פי :

.

ננחש פתרון מהצורה ונקבל לאחר צמצום את הפולינום , אשר לו פתרונות . לפיכך הפתרון למשוואה הוא סכום של חזקות אלה של r, כלומר הוא מהצורה:

.

תנאי השפה של הבעיה מאפשרים לקבוע את ערכי המקדמים A,B,C,D. ברור שבאינסוף הזרימה לא מושפעת מהכדור ולכן מהירותה היא , או לחלופין . כמו כן על שפת הכדור מתקיים: . לפיכך הפתרון לשדה המהירות מסביב לכדור הוא:

תנועה בהשפעת גרביטציה

כאשר הגוף נע בהשפעת גרביטציה, יפעל עליו בנוסף לכוח הגרר גם כוח הגרביטציה וכוח העילוי. משוואת התנועה שלו תהיה:

כאשר:

  • מסת הגוף ו- כוח הגרביטציה הפועל עליו.
  • נפח הגוף, צפיפות הזורם המקיף אותו ו - כוח העילוי הפועל על הגוף.
  • הוא כוח הגרר, עם הקבוע עבור כדור.

פתרון המשוואה מראה כי מהירות הגוף שואפת (אקספוננציאלית) לערך קבוע, אשר עבור כדור נתון על ידי ( היא צפיפות הגוף הכדורי). בתופעה זו נעשה שימוש לצורך מדידת מקדמי צמיגות של חומרים.

זרימה של יונים בתמיסה

כאשר יון בעל מטען נע בתמיסה בהשפעת שדה חשמלי , יפעל עליו בנוסף לכוח הגרר גם כוח חשמלי . היון יאיץ עד שהכוח השקול הפועל עליו יהיה שווה לאפס, ומהירותו במצב זה תהיה:

מהירות זו נקראת מהירות הסחיפה של היון, ועבור יון מסוים היא נמצאת ביחס ישר לעוצמת השדה החשמלי וביחס הפוך לצמיגות הממס.