משפט גאוס-בונה

משפט גאוס-בונה הוא משפט יסודי בגאומטריה דיפרנציאלית, הקושר את הגאומטריה והטופולוגיה של משטח רימן. לפי המשפט, האינטגרל על העקמומיות של המשטח שווה תמיד למאפיין אוילר שלו. המשפט קרוי על שם גאוס, שהכיר את המשפט אך לא פרסם אותו, ופייר אוסיאן בונה שפרסם מקרה פרטי שלו ב-1848.

המשפט

יהי M משטח רימן קומפקטי. נסמן ב-K את עקמומיות גאוס של המשטח. אם המשטח נטול שפה, מתקיים $\int _{M}K\;dA=2\pi \chi (M),\,$, כאשר dA הוא אלמנט השטח של המשטח, ו-$\chi (M)$ הוא מציין אוילר (שהוא תמיד מספר שלם). כידוע, אם המשטח בר-כיוון, אז מציין אוילר שלו שווה ל-$2-2g$, כאשר g הוא הגנוס של המשטח.

אם למשטח יש שפה $\partial M$, נסמן ב-$k_{g}$ את העקמומיות הגאודזית של השפה. אז $\int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M),\,$, כאשר ds הוא אלמנט האורך של השפה. במקרה שהשפה חלקה למקוטעין, יש לפרש את האינטגרל $\int _{\partial M}k_{g}\;ds$ כסכום של האינטגרלים על הקטעים החלקים, ועוד סכום הזוויות בפינות.

דוגמאות והשלכות

הטופולוגיה של משטח רימן קומפקטי אינה מסובכת: מציין אוילר מגדיר את המשטח. עם זאת, על כל מבנה טופולוגי אפשר להשרות את המבנה המטרי באינסוף דרכים. משפט גאוס-בונה מראה שבכל הדרכים האלה אינטגרל העקמומיות הוא קבוע. במלים אחרות (כשאין למשטח שפה), העקמומיות הממוצעת עומדת ביחס הפוך לשטח. לדוגמה, מציין אוילר של כדור הוא 2. עקמומיות-גאוס של כדור נעשית קטנה יותר ככל שהכדור גדל: העקמומיות של כדור ברדיוס R היא $1/R^{2}$. לפי משפט גאוס-בונה, יוצא ששטח הכדור כפול העקמומיות הקבועה הזו שווה תמיד ל-$4\pi$.

הקומפקטיות היא תנאי הכרחי במשפט: לעיגול היחידה הפתוח עקמומיות אפס, ולכן האינטגרל של העקמומיות שווה גם הוא לאפס; אבל לעיגול יש מציין אוילר 1. אכן, אם מוסיפים לכדור הפתוח את השפה שלו, השוויון מתקיים, משום שהאינטגרל על פני עקמומיות השפה הוא $2\pi$.

הטורוס, שמציין אוילר שלו הוא 0, מספק דוגמה חשובה נוספת. אפשר לבנות אותו על ידי זיהוי הצלעות המנוגדות בריבוע, כך שהעקמומיות היא אפס בכל נקודה, וממילא העקמומיות הממוצעת היא אפס. כאן התוצאה אינה מפתיעה. אבל השיכון הטבעי של הטורוס במרחב האוקלידי מספקת לו עקמומיות חיובית בחלק החיצוני, ושלילית בחלק הפנימי. משפט גאוס-בונה מבטיח שאלו מאזנות זו את זו, והעקמומיות הממוצעת היא אפס בכל שיכון אפשרי.

טריאנגולציה של משטחים מספקת למשפט גרסאות קומבינטוריות.

הכללות

משפט רימן-רוך ומשפט האינדקס של אטיה-זינגר מכלילים את משפט גאוס-בונה.