טור (מתמטיקה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה מושג הטור בא לציין את סכומה של סדרה, שיכולה להיות סדרת מספרים, וגם סדרה של פונקציות. למשל, $1+2+3$ הוא טור שסכומו 6. נהוג להבדיל בין שני סוגי טורים עיקריים: טור סופי וטור אינסופי. המתמטיקאי היווני הקדום ארכימדס (נפטר ב-212 לפני הספירה) חישב, לראשונה ככל הידוע, סכום של טור אינסופי.

טורים סופיים

טורים סופיים אינם אלא דרך מקוצרת לרשום בה חיבור של איברים רבים. באופן כללי, הסימון המקוצר עבור הסכום $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$ הוא באמצעות האות היוונית סיגמא, בסימון זה: $\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ כאשר $k$ הוא אינדקס העובר על הערכים $1,2,...,n$.

ישנם כמה סוגי טורים הראויים להתייחסות מיוחדת:

טור חשבוני

טור חשבוני הוא סכומה של סדרה חשבונית. סכום זה שווה למכפלת חצי מספר האיברים בסכום האיבר הראשון והאחרון: $\sum _{k=1}^{n}a_{k}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$ (ראו בעניין זה "אנקדוטה אודות קרל פרידריך גאוס").

טור טלסקופי

טור טלסקופי הוא כינוי לכל טור בו מצטמצמים כל האיברים למעט האיבר הראשון והאחרון, עובדה המקלה על חישוב סכומם. נסתכל למשל בטור ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+\cdots +{\frac {1}{(n)\cdot (n+1)}}$, שבו האיבר ה-$k$ הוא ${\frac {1}{k\cdot (k+1)}}$. מכיוון ש- ${\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}={\frac {k+1-k}{k\cdot (k+1)}}={\frac {1}{k\cdot (k+1)}}$, סכום n האברים הראשונים הוא $\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+...+\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)$. שינוי סדר הפעולות מראה שהסכום הזה שווה ל- ${\frac {1}{1}}+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {1}{n+1}}=1-{\frac {1}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}$.

(ראו גם "חישוב סכום של טור טלסקופי אינסופי")

טור הנדסי

טור הנדסי (או טור אקספוננציאלי או גאומטרי) הוא סכום איבריה של סדרה הנדסית. למשל, הטור $1+2+4+8+16+...+2^{n-1}$ הוא טור של איברי סדרה הנדסית המתחילה ב-1, והמנה - 2.

סכום סופי של טור של סדרה הנדסית כלשהי הוא: $S_{n}=a_{1}\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}$,
כאשר $q$ היא מנת הסדרה, $a_{1}$ הוא האיבר הראשון בסדרה ומספר האיברים בה הוא $n$.

הוכחת הנוסחה:

נשים לב כי מתקיים:

$(q-1)(q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1)=q^{n}-1$

(זהו טור טלסקופי, כי מפתיחת הסוגריים מקבלים: $q^{n}-q^{n-1}+q^{n-1}-\dots -q+q-1$)

כעת, הסכום של טור בן $n$ איברים, שאיברו הראשון הוא $a_{1}$ ומנתו $q$ הוא:

$S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+...+a_{1}q^{n-1}=a_{1}\cdot (q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1)$.

לכן, אם נכפול את שני האגפים ב-$q-1$ (הערה: עבור המקרה הפרטי $q=1$, בו יתרחש כפל בעייתי באפס, הסדרה ההנדסית תהיה גם סדרה קבועה שכל איבריה זהים (כפל ב-1, איבר היחידה בפעולת הכפל), ועבורה נוסחת הסכום מאוד פשוטה לחישוב: $S_{n}=n\cdot a_{1}$), נקבל מהשוויון שהראינו קודם שמתקיים:$(q-1)S_{n}=a_{1}(q^{n}-1)$, ומכאן: $S_{n}=a_{1}\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}$. כאשר הסכום הוא אינסופי התוצאה היא : $S_{\infty }=a_{1}\cdot {\frac {\overbrace {q^{n}} ^{0}-1}{q-1}}={\frac {a_{1}}{1-q}}$

טורים אינסופיים

כאשר אין סוף למספר האיברים בטור, נהוג לסמן אותו כך: $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. גם במקרה כזה ניתן להכליל את מושג הסכום באופן שניתן יהיה להגדיר את סכומם של כל איברי הטור, אך לא תמיד. נסתכל ראשית בדוגמה:

נניח כי $1+2+4+8+...=A$ כאשר $A$ מספר ממשי כלשהו. כעת נכפיל את הטור כולו ב-2 ונקבל: $2+4+8+...=2A$ ומכאן כי $2A=A-1$ וקיבלנו $A=-1$. מכאן שניתן להשתמש באריתמטיקה של טורים רק אם הטור מתכנס (אבל ראו "טור המספרים הטבעיים").

כשאנו באים לבדוק התכנסות של טור, בצורה אינטואיטיבית, הרעיון הוא כזה: כשאנו מסכמים את אברי הטור, "נעצור ונבדוק" כל הזמן את הסכום שלנו עד עכשיו. אם נראה שהסכום "הולך ומתקרב" למספר סופי כלשהו, זה אומר שהטור מתכנס, ואילו אם אנחנו רואים שהטור לא מתקרב לאף מספר (גדל/קטן כל הזמן, או "מתנדנד" בין כמה ערכים) הרי שהטור אינו מתכנס.

בניגוד לסכומים סופיים שמקיימים את תכונת הקומוטטיביות והאסוציאטיביות, טורים אינסופיים על-אף שמהווים הכללה של מושג הסכום, לא תמיד מקיימים תכונות אלה.

התכנסות של טור אינסופי

יהי $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ טור. נגדיר סכום חלקי $S_{n}$ בתור סכום $n$ האיברים הראשונים של הטור, כלומר $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$. הטור מתכנס למספר ממשי $L$, אם סדרת הסכומים החלקיים $\left\{S_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת למספר זה. אם טור לא מתכנס, אומרים שהוא מתבדר.

תנאי הכרחי (אך לא מספיק) להתכנסות טור הוא: האיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס. ישנם מבחני התכנסות שבעזרתם אפשר להוכיח שטור מסוים מתכנס. אולם, מבחנים אלה בדרך כלל אינם נותנים דרך לחישוב הסכום. חישוב סכום של טורים הוא לרוב משימה קשה למדי.

דוגמאות

• טור חשבוני אינסופי שאינו זהותית אפס אינו מתכנס (הוא מתבדר לאינסוף או למינוס אינסוף).
• גם הטור ההרמוני, $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ מתבדר (או מתכנס לאינסוף) על אף שהסדרה ההרמונית - ${\frac {1}{n}}$ שואפת ל-0. דוגמה לכך שהתנאי ההכרחי אינו מספיק להתכנסות הטור.
• טור הנדסי אינסופי מתכנס כאשר היחס הקבוע בין איבריו הוא בין אחד למינוס אחד: $|q|<1$. במקרה זה, סכומו הוא ${\frac {a_{1}}{1-q}}$. עבור יחס שגדול או שווה בערכו המוחלט ל-1 הטור מתבדר.
• כאשר בטור הנדסי היחס הקבוע בין אבריו שווה למינוס אחד, מתקבל טור "מתחלף", לדוגמה $1-1+1-1+1-1+\dots$ הוא טור שכזה. בניגוד לדוגמאות שהוצגו לעיל, לא ניתן לומר על טור זה אפילו שהוא מתכנס לאינסוף, כי סכומו אינו מתקרב לאינסוף אלא מתחלף ללא הרף בין 0 ובין 1.

התכנסות בהחלט

הטור $\sum {a_{n}}$ מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים $\sum {|a_{n}|}$ מתכנס (במובן הרגיל). טור מתכנס שאינו מתכנס בהחלט, נקרא טור מתכנס בתנאי. לטור המתכנס בתנאי יש תכונה מעניינת: לכל מספר $L$, אפשר לסדר מחדש את אברי הטור כך שהטור יתכנס וסכומו יהיה $L$. תוצאה זו נקראת משפט רימן. לעומת זאת, בטור מתכנס בהחלט אפשר לשנות את סדר האיברים, ותמיד יתקבל אותו סכום.

הכנסת סוגריים

הכנסת סוגריים לטור אינסופי היא פעולה שמגדירה טור חדש, שאיברו הכללי הוא סכום של כמה מאיברי הטור המקורי לפי אותו הסדר.

למשל, לטור $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}=1-1+1-1+...$, ניתן להכניס סוגריים על כל זוג איברים, ולקבל את הטור $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}=(1-1)+(1-1)+...=0+0+...$. דוגמה זו מצביעה על האפשרות שטור המתקבל מהכנסת סוגריים מתכנס (במקרה זה ל-0) בעוד הטור המקורי מתבדר.

כאמור, גם אם טור שהתקבל מהכנסת סוגריים מתכנס, אין זה אומר שהטור המקורי מתכנס. עם זאת, אם מתקיים לפחות אחד מהתנאים הבאים, שני הטורים מתכנסים ומתבדרים יחד:

1. הטור המקורי הוא אי-שלילי.
2. האיבר הכללי בטור שואף ל-0 ומספר האיברים שבכל סוגריים חסום.
3. האיברים שבתוך כל סוגריים הם שווי-סימן (גם אם הסימן שונה מסוגריים לסוגריים).

משפט מרטן קובע כי במכפלת קושי של טורים מתקיימת התכנסות של טור המכפלות שמתקבל מהכנסת סוגריים, על-אף שמספר האיברים אינו בהכרח חסום וסימן האיברים שבסוגריים אינו בהכרח קבוע.

טורים בני-סיכום ותורת טאובר

מבחינה תאורטית אפשר לחשוב על המושג 'סכום של טור' שהגדרנו להלן, כעל פונקציונל מתת-המרחב של טורים מתכנסים במרחב הטורים $\ \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ לשדה המספרים הממשיים $\ \mathbb {R}$. בהינתן טור מתכנס, הפונקציונל הזה מחזיר את סכומו של הטור.

מנקודת מבט זו, אפשר להכליל את מושג הסכום, כך שיכסה כל פונקציונל העונה על הדרישות שציינו. היתרון הוא שכעת נוכל 'להרוויח' טורים חדשים, שאינם מתכנסים במובן הרגיל, אבל פונקציונל הסיכום החדש שלנו יודע לטפל בהם בכל זאת. תחום זה של האנליזה נקרא summability (סכימות).

על ידי ניתוח מדויק של פונקציונל הסכימות, ושיטות מאנליזת פורייה, ניתן להציג אותו בצורה אינטגרלית, ולבנות עבורו פונקציה הנקראת "גרעין", ההבדל בין מושגי ההתכנסות השונים, ניתן על ידי שינוי הגרעין המתאים.

השאלה המעניינת בתחום זה היא בהינתן טור כללי, שידוע כי הוא מתכנס בשיטת סכימות כלשהי, האם הוא מתכנס גם באופן רגיל? מתברר כי ניתן לענות על שאלות אלה בעזרת תורת טאובר. תורת טאובר היא שם כללי למספר משפטי טאובר, שהם משפטים המאפשרים להוכיח התכנסות של טור ע"ס התכנסותו בשיטת סכימות ספציפית, יחד עם הנחות נוספות. הטיפול הכללי ביותר בנושא ניתן במסגרת תורת Weiner-Pitt, המאפיינת לגמרי גרעינים.

דוגמאות

אומרים שהטור $\sum _{n}a_{n}$ מתכנס לערך $S$ במובן של אבל, אם הגבול של $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}$ כאשר $x$ שואף ל-1 מלמטה, שווה ל-$S$. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) מתכנס לאותו ערך גם במובן של אבל; לעומת זאת, הטור $\sum (-1)^{n+1}n$ כמובן אינו מתכנס במובן הרגיל, וסכומו במובן של אבל הוא רבע.

שיטת סיכום אחרת מיוחסת לצ'זרו (Cesàro). נסמן ב- $S_{n}$ את סדרת הסכומים החלקיים של טור נתון. הטור מתכנס במובן הרגיל אם הסדרה $\ s_{n}$ מתכנסת. אומרים שהטור "מתכנס במובן של צ'זרו" או שהוא "טור מטיפוס C-1", אם הסדרה $S_{n}^{(1)}={\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}$ מתכנסת. למשל, הטור $\ \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}$ אינו מתכנס במובן הרגיל, אבל סכומו במובן צ'זרו הוא חצי. אם טור אינו מתכנס במובן C-1 אבל הממוצעים של $S_{n}^{(1)}$ כן מתכנסים, אז הטור הוא מטיפוס C-2, וכן הלאה.

ישנן עוד שיטות סיכום, כגון התכנסות למברט שהיא בעלת שימושים בתורת המספרים להוכחת משפט המספרים הראשוניים. כמו כן ישנה גם שיטת סכימות חשובה שנקראת סכימות בורל.

דוגמאות לתורת טאובר

אם הטור $\sum _{n}a_{n}$ מתכנס לערך $S$ במובן של אבל, וכן $na_{n}$ שואף לאפס, אז הטור מתכנס גם במובן רגיל.

אם הטור $\sum _{n}a_{n}$ מתכנס לערך $S$ במובן של צ'זרו, וכן $na_{n}\geq -C$ אז הטור מתכנס גם במובן רגיל. זהו משפט לנדאו. ישנו משפט של הארדי, החלש יותר ממשפט לנדאו, שקובע כי אם הטור מתכנס צ'זרו, ורק $|na_{n}|\leq C$, אז הטור מתכנס.

טורי פונקציות

ערך מורחב – טור פונקציות

כשם שניתן להגדיר סדרה של מספרים, כך גם ניתן להגדיר סדרה של פונקציות, ולכן ניתן להגדיר גם טור של פונקציות. גם סדרות וטורים אלו יכולים להתכנס - במקרה זה לא למספר קבוע, אלא לפונקציה.

חישוב סכום של טורים אינסופיים

ברוב המקרים חישוב סכום של טור אינסופי איננו עניין פשוט. ובכל זאת, קיימות מספר שיטות:

מניפולציות אנליטיות

נראה כאן כיצד ניתן לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף $\sum _{k=1}^{\infty }\left(-1\right)^{k-1}{\frac {1}{k}}$. זהו טור מתכנס, בניגוד לטור ההרמוני, ונחשב את סכומו באמצעות תכונות של טורי חזקות.

ראשית נביט בטור ההנדסי $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ שמתכנס עבור $x\in (-1,1)$. ידוע כי סכום טור זה הוא ${\frac {1}{1-x}}$. נציב $x=-y$ ונקבל: $\sum _{k=0}^{\infty }(-y)^{k}={\frac {1}{1+y}}$. מכיוון שזהו טור חזקות בעל רדיוס התכנסות 1 ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר, ולכן נקבל: $\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{y}(-1)^{k}t^{k}dt=\int _{0}^{y}{\frac {1}{1+t}}dt$, כלומר $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {y^{k+1}}{k+1}}=\ln(1+y)$.

קיבלנו כעת טור חדש בעל רדיוס התכנסות זהה לזה של הטור המקורי - 1. אנו יודעים שטור זה מתכנס בנקודה $y=1$ (למשל, בעזרת מבחן לייבניץ), ולכן נציב $y=1$ ונקבל: $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k+1}}=\ln(2)$. והרי $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k+1}}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}$, ולכן הגענו לתוצאה המבוקשת: $\sum _{k=1}^{\infty }\left(-1\right)^{k-1}{\frac {1}{k}}=\ln(2)$.

חישוב סכום של טור טיילור

לעתים, טור אינסופי מסוים הוא פשוט טור טיילור של פונקציה מסוימת בנקודה מסוימת. למשל, בדוגמה לעיל השתמשנו בטור טיילור של $\ln(1+x)$ על מנת לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף, השווה ל-$\ln(2)$.

חישוב סכום של טור פורייה

טור פורייה הוא הצגה של פונקציה כטור אינסופי של סינוסים וקוסינוסים. באמצעות הצבה בתוך הטור או על ידי שימוש בזהות פרסבל אפשר לחשב באמצעותו טורים שונים, למשל ערכים שונים של פונקציית זטא של רימן. לדוגמה:

טור פורייה של $x$ בקטע $[-\pi ,\pi ]$ הוא

$f(x)=x=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))=$

$=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\quad \forall x\in (-\pi ,\pi )$

ומזהות פרסבל

${\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\left|(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\right|^{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{x^{2}dx}=2{\frac {\pi ^{2}}{6}}$

ולכן הערך של פונקציית זטא של רימן בנקודה $s=2$ (הנקרא גם טור אוילר, על שם המתמטיקאי שחישב אותו לראשונה) הוא

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

חישוב סכום של טור טלסקופי

טור טלסקופי הוא טור מהצורה $\sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n-1})}$ וקל לחשב את סכומו שכן

$\sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n-1})}=\lim _{n\to \infty }{(a_{n}-a_{0})}$

לעתים, יש טורים שניתן להציגם בצורה זו. למשל:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}}=\lim _{n\to \infty }{\left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)}=1.$

חישוב בעזרת שאריות

שיטה שימושית לחישוב הסכום של טורים מבוססת על חישוב שאריות בפונקציות מרוכבות. ממשפט השארית נובעת התוצאה הבאה (כאשר f היא פונקציה אנליטית):

• אם קיימים קבועים C ו- $p>1$ כך ש- $|f(z)|<{\frac {C}{|z|^{p}}}$ כאשר $|z|$ גדול מספיק, והטור $\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)$ מתכנס, אז סכומו שווה לסכום השאריות של $-\pi f(z)\cot(\pi z)$ בכל הקטבים של $f$.

ראו גם

• גבול (מתמטיקה)
• מבחני התכנסות לטורים
• טור טיילור
• טור פורייה
• בעיית בזל

קישורים חיצוניים

• שש דרכים לסכם טור(הקישור אינו פעיל, 14 בדצמבר 2016)
• גדי אלכסנדרוביץ', טרטורי טורים, באתר "לא מדויק",