משפטי האי-שלמות של גדל – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה

→ העריכה הקודמת העריכה הבאה ←

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

חזותיקוד ויקי

בשורה

גרסה מ־14:04, 10 ביוני 2017

המונח "משפט האי-שלמות" מפנה לכאן. לערך העוסק במשפט מתחום מדעי המחשב, ראו משפט האי-שלמות של צ'ייטין.

משפטי האי-שלמות של קורט גדל הם צמד משפטים יסודיים בלוגיקה מתמטית, הענף החוקר את יסודות הלוגיקה בכלים מתמטיים.

גדל הראה שכל מערכת אקסיומות אפקטיבית ועשירה מספיק (כזו המכילה חלק מספיק גדול מאקסיומות האריתמטיקה) שהיא עקבית, היא בהכרח לא שלמה, משמע שקיימות טענות שלא ניתנות להכרעה, כלומר שלא ניתן להוכיחן או להפריכן. בכך גדל שם קץ לניסיונות רבים לבנות מערכת אקסיומטית כוללת שממנה תנבע כל המתמטיקה.

המשפטים מצוטטים בתרבות הפופולרית בצורות שונות, לעתים שגויות, ובפרט יש בלבול סביב השאלה האם המשפטים טוענים ש־"קיימות טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיח". המשפטים מוכיחים שעבור כל מערכת כמתואר לעיל קיימת טענה על מספרים טבעיים שהיא אמיתית אך אינה ניתנת להוכחה במערכת. עם זאת, קיים גם משפט לכאורה הפוך, משפט השלמות של גדל, שקדם למשפטי האי־שלמות, שטוען שבכל מערכת כזו אפשר להוכיח כל טענה הנכונה בכל מודל המתאים למערכת (כלומר בכל פרשנות אפשרית של המערכת). משילוב שני המשפטים נובע שכל מערכת עקבית לתיאור המספרים הטבעיים אפשר לפרש בצורות שונות, שחלקן שונות מהדרך הרגילה בה אנו תופסים את המספרים הטבעיים. כלומר אפשר להתאים להן מודל שאינו מודל המספרים הטבעיים הסטנדרטי. הטענות שאינן ניתנות להכרעה יהיו אמיתיות בחלק מהמודלים הללו, ושקריות באחרים^[1].

מבוא לא פורמלי

מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך הנחה שבטיפול בכל טענה מתמטית ייתכנו רק שני כיוונים: ניתן להוכיח את הטענה, או לחלופין ניתן להפריכה (כלומר להוכיח שהטענה אינה נכונה). גם אם קשה מאוד לפתור בעיה מסוימת, הרי אם יושקעו בה מאמץ וכשרון במידה מספקת - תימצא לה הוכחה נאותה. דויד הילברט, גדול המתמטיקאים בתחילת המאה העשרים, ידע שזו הנחה שלא זכתה להוכחה, אך הוא היטיב לתארה באומרו: "ההכרה ביכולת לפתור כל בעיה מתמטית היא תמריץ עז לכל מי שטורח על הפתרון. אנו שומעים בתוכנו את הקריאה המתמדת: הנה הבעיה, מצא את פתרונה, אתה יכול לעשות זאת בכוח המחשבה בלבד, כי במתמטיקה לא ניתקל בחוסר יכולת לדעת".

בשנת 1931 הוכיח הלוגיקן קורט גדל (Gödel), במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינקיפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שהנחה זו שגויה.

משפט האי-שלמות הראשון של גדל, שהפך לאבן פינה בלוגיקה המתמטית, הוסיף אפשרות שלישית לגורל הצפוי לטענה מתמטית. המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות אלגוריתם טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות. הטענה דומה מאוד לפרדוקס השקרן (פרדוקס שבו אדם מסוים אומר "אני עכשיו משקר"), אך שונה ממנה, שכן לא נטען בה שהיא איננה נכונה. ההוכחה הפורמלית של המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן לבנות טענה פורמלית האומרת "לא ניתן להוכיח אותי".

במשך שנים לאחר פרסום המשפטים רווחה ההנחה שאמנם קיימות טענות שלא ניתן להוכיח או להפריך אך הן "לא טבעיות", כלומר לא סביר שבמהלך פיתוח סטנדרטי של תורה מתמטית ניתקל במשפטים כאלו. ההנחה הזו התבררה כשגויה באופן קיצוני בעקבות הוכחת העצמאות של השערת הרצף. השערת הרצף שהוצעה על ידי גיאורג קנטור, טוענת כי לא קיימת קבוצה שעוצמתה גדולה מזו של המספרים הטבעיים וקטנה מזו של המספרים הממשיים. השערה זו נחשבה לאחת מהבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה בתחילת המאה ה-20 (זו הבעיה הראשונה ברשימת 23 הבעיות של הילברט). בשנת 1937 הוכיח גדל כי לא ניתן להפריך השערה זו במסגרת אקסיומות ZFC ובשנת 1963 הוכיח פול כהן כי לא ניתן להוכיח השערה זו במסגרת ZFC.

במשפט האי-שלמות השני הוכיח גדל כי תורה עקבית שהנה מספיק חזקה לקיים את אקסיומות פיאנו (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את האקסיומות של תורת הקבוצות (ZF) לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות. אולם, האפשרות שאי אפשר להפריך את העקביות של עצמה תלויה במערכת האקסיומות שלה (יכול להיות שטענה זאת בלתי תלויה במערכת האקסיומות שלך ויכול להיות שהיא לא נכונה).

תנאי המשפט אינם מחייבים מספר סופי של אקסיומות. כלומר, גם אילו היו בידינו אינסוף אקסיומות של תורת המספרים, היה המשפט מתקיים בתנאי הרגיל, שניתן יהיה לזהות בקלות האם טענה נתונה היא אקסיומה של המערכת (תכונה זו נקראת אפקטיביות).

רעיון זה הופיע עוד קודם לכן בכתביו של אחד מצמד מחברי "פרינקיפיה מתמטיקה", אלפרד נורת' וייטהד. וייטהד טען טענה דומה בספרו "המדע והעולם המודרני" (1925), על כך שכל מערכת טענות תהא פתוחה, כך שיוותרו בה טענות שלא יהיו ניתנות לאישוש או להפרכה. רעיונות דומים הופיעו זמן רב לפני כן. בספר השישי לפוליטאה, למשל, מתאר אפלטון את המתמטיקה ואת כל מדעי הדיאנויה (מחשבה), כמדעים היפותטיים, בהם יש טענות שניתן להניחן אך לא להוכיחן או להפריכן מתוך המערכת עצמה (בדומה לאקסיומות של הגאומטריה).

ההשפעה של המשפט

ההשפעה של המשפט על התפתחות המתמטיקה הייתה רבה. משפט האי-שלמות למעשה ייתר את תוכנית הילברט ובכך פגע אנושות בניסיון לבצע אקסיומטיזציה של המתמטיקה. לאחר ההוכחה, חדלו המתמטיקאים בהדרגה לעסוק בנושא בניית יסודות המתמטיקה שהעסיקם רבות בראשית המאה ה-20 עקב תחושה של יאוש מהנושא.

משפט גדל היווה גם, על פי תפיסות מסוימות, הפרכה לתפיסה הפורמליסטית של המתמטיקה כאוסף כללים חסרי משמעות מחוץ למערכת או שמשמעותם מחוץ למערכת אינה עניין מתמטי. חוסר היכולת לקבוע פורמלית את נכונותם של משפטים אלו ואחרים שימש כראייה לכך שהאדם לא מסוגל לתפוס כל אמת, שהרי כל הוכחה הידועה לאדם מבוססת על מערכת אקסיומות סופית.

טענה אחרת דווקא מסיקה מהמשפט את עליונותו של האדם. על פי טענה זו, ישנן אמיתות שאף מחשב תאורטי לא יכול להכילן (מדובר על מודל של מחשב, בלי תלות בקיומו הממשי, ראו מדעי המחשב ומכונת טיורינג), כיוון שעל פי תזת צ'רץ'-טיורינג כל ההוכחות האפשריות של המחשב המושלם (מכונת טיורינג) יכולות להיות מאורגנות בצורת מערכת פורמלית. ואולם, האדם יהיה מסוגל לדעת גם טענות שלא כלולות במערכת זו (דוגמה המובאת לטענה זו היא עקביות המערכת הפורמלית בה משתמש המחשב). הפיזיקאי רוג'ר פנרוז התבסס על משפטי האי-שלמות של גדל בהעלותו את ההשערה כי האינטליגנציה האנושית ניתנת להסבר רק על ידי קיומן ההיפותטי של אינטראקציות קוונטיות במוח. אף לא אחת מטענות אלו מוסכמת על כלל הפילוסופים, ובוודאי ששתיהן אינן עומדות בדרישות הריגורוזיות המתמטית.

ההשפעה מחוץ לתחומי המתמטיקה הייתה רבה אף היא. משפט האי-שלמות משמש את חסידי העידן החדש על מנת לנגח את יומרתו כביכול של המדע לדעת הכל. לטענתם, אם אפילו המערכות המתמטיות הבסיסיות ביותר אינן ניתנות להוכחה, אזי ישנה בעייתיות בגישה על פיה מסוגל המדע להבין את העולם. משפט זה נכרך לעתים קרובות יחד עם מכניקת הקוונטים בידי גורמים עוינים למדע על מנת להוכיח את אי היכולת של המדע לדעת הכול. תרומתו של המשפט לפוסטמודרניזם עמדה בניגוד מוחלט לגדל, שהיה פלטוניסט.

בספרו שלוש מהפכות קופרניקניות הציג הפרופסור זאב בכלר את משפטי האי-שלמות של גדל כהפרכה אחת מני רבות לתפיסה אותה הוא מכנה "אקטואליזם". במקרה זה, טענתו היא שהמתמטיקה מכילה תוכן ולא רק צורה, בניגוד לתפיסות אקטואליסטיות שטוענות להפך. זאת, בהתאם להתמקדותם הכללית (על פי המתואר בספר) בצורניות ובשפה ולא בעולם, מתוך ההנחה ש"אין משמעות למושג האמת"- פילוסופיה שתקפה הן לגבי המוסר והן לגבי המדע והמתמטיקה. בכך הולך בכלר בדרכו של גדל עצמו במידת מה, בניגוד לתפיסות הפוסטמודרניות, שכן גדל האמין באמת אחת והתכוון שמשפטו יהווה הפרכה לפורמליזם שראה כמרוקן את המתמטיקה מתוכנה.

ראו גם

משפט האי-שלמות של צ'ייטין
משפט הרקורסיה - משמשת בחלק מההוכחות למשפטי האי-שלמות של גדל.
משפט סקולם-לוונהיים - משפט נוסף על מגבלות כוח התיאור של הלוגיקה מסדר ראשון.
משפט האי-גדירות של טרסקי

לקריאה נוספת

ארנסט נאגל וג'יימס ניומן, משפט גדל, תרגמו: יעל הרפז רובין ונצה מובשוביץ הדר, הוצאת הטכניון, 1993.
ארנון אברון, משפטי גדל ובעיית יסודות המתמטיקה, משרד הביטחון - ההוצאה לאור, 1998.
דאגלס הופשטטר, גדל, אשר, באך - גביש בן-אלמוות, תרגמו: טל כהן וירדן ניר בוכבינדר, הוצאת דביר, 2011.
רבקה גולדסטיין, ההוכחה והפרדוקס - משפטי האי-שלמות של קורט גדל, 2006
מריוס כהן, "משפטי אי-השלמות של גדל", גליליאו 106, יוני 2007

קישורים חיצוניים

On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, תרגום לאנגלית למאמרו המקורי של גדל - Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme.
אלון עמית, תנו לגדול בשקט, האייל הקורא
גדי אלכסנדרוביץ', משפטי אי השלמות של גדל: הטוב, הרע והיפה, באתר ynet, 26.10.2011
גדי אלכסנדרוביץ', משפט אי השלמות הראשון של גדל - איך (בערך) מוכיחים אותו?, באתר "לא מדויק", שגיאה: זמן שגוי

הערות שוליים

^ משפטי אי השלמות של גדל - מה הם כן אומרים? לא מדויק, גדי אלכסנדרוביץ'

[1] משפטי אי השלמות של גדל - מה הם כן אומרים? לא מדויק, גדי אלכסנדרוביץ'

[1]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-{{מפנה|משפט אי-השלמות|משפט מתחום מדעי המחשב|משפט אי-השלמות של צ'ייטין}}
+{{מפנה|משפט האי-שלמות|משפט מתחום מדעי המחשב|משפט האי-שלמות של צ'ייטין}}
-'''משפטי אי-השלמות של [[קורט גדל]]''' הם צמד [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] יסודיים ב[[לוגיקה מתמטית]], הענף החוקר את יסודות ה[[לוגיקה]] בכלים [[מתמטיקה|מתמטיים]].
+'''משפטי האי-שלמות של [[קורט גדל]]''' הם צמד [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] יסודיים ב[[לוגיקה מתמטית]], הענף החוקר את יסודות ה[[לוגיקה]] בכלים [[מתמטיקה|מתמטיים]].
 גדל הראה שכל מערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] ועשירה מספיק (כזו המכילה חלק מספיק גדול מאקסיומות ה[[אריתמטיקה]]) שהיא [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]], היא בהכרח לא [[שלמות|שלמה]], משמע שקיימות [[עצמאות_(לוגיקה_מתמטית)|טענות שלא ניתנות להכרעה]], כלומר שלא ניתן להוכיחן או להפריכן. בכך גדל שם קץ לניסיונות רבים [[תוכנית הילברט|לבנות מערכת אקסיומטית כוללת]] שממנה תנבע כל המתמטיקה.
-המשפטים מצוטטים בתרבות הפופולרית בצורות שונות, לעתים שגויות, ובפרט יש בלבול סביב השאלה האם המשפטים טוענים ש־"קיימות טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיח". המשפטים מוכיחים שעבור כל מערכת כמתואר לעיל קיימת טענה על מספרים טבעיים שהיא אמיתית אך אינה ניתנת להוכחה במערכת. עם זאת, קיים גם משפט לכאורה הפוך, [[משפט השלמות של גדל]], שקדם למשפטי אי־השלמות, שטוען שבכל מערכת כזו אפשר להוכיח כל טענה הנכונה בכל [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] המתאים למערכת (כלומר בכל פרשנות אפשרית של המערכת). משילוב שני המשפטים נובע שכל מערכת עקבית לתיאור המספרים הטבעיים אפשר לפרש בצורות שונות, שחלקן שונות מהדרך הרגילה בה אנו תופסים את המספרים הטבעיים. כלומר אפשר להתאים להן מודל שאינו מודל המספרים הטבעיים הסטנדרטי. הטענות שאינן ניתנות להכרעה יהיו אמיתיות בחלק מהמודלים הללו, ושקריות באחרים{{הערה|1=[http://www.gadial.net/2009/05/03/godel_incompleteness_yes/ משפטי אי השלמות של גדל - מה הם כן אומרים?] לא מדויק, גדי אלכסנדרוביץ'}}.
+המשפטים מצוטטים בתרבות הפופולרית בצורות שונות, לעתים שגויות, ובפרט יש בלבול סביב השאלה האם המשפטים טוענים ש־"קיימות טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיח". המשפטים מוכיחים שעבור כל מערכת כמתואר לעיל קיימת טענה על מספרים טבעיים שהיא אמיתית אך אינה ניתנת להוכחה במערכת. עם זאת, קיים גם משפט לכאורה הפוך, [[משפט השלמות של גדל]], שקדם למשפטי האי־שלמות, שטוען שבכל מערכת כזו אפשר להוכיח כל טענה הנכונה בכל [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] המתאים למערכת (כלומר בכל פרשנות אפשרית של המערכת). משילוב שני המשפטים נובע שכל מערכת עקבית לתיאור המספרים הטבעיים אפשר לפרש בצורות שונות, שחלקן שונות מהדרך הרגילה בה אנו תופסים את המספרים הטבעיים. כלומר אפשר להתאים להן מודל שאינו מודל המספרים הטבעיים הסטנדרטי. הטענות שאינן ניתנות להכרעה יהיו אמיתיות בחלק מהמודלים הללו, ושקריות באחרים{{הערה|1=[http://www.gadial.net/2009/05/03/godel_incompleteness_yes/ משפטי אי השלמות של גדל - מה הם כן אומרים?] לא מדויק, גדי אלכסנדרוביץ'}}.
 ==מבוא לא פורמלי==
@@ שורה 11: / שורה 11: @@
 בשנת [[1931]] הוכיח הלוגיקן [[קורט גדל]] (Gödel), במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה ב[[פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל)|פרינקיפיה מתמטיקה]] ובמערכות דומות", שהנחה זו שגויה.
-'''משפט אי-השלמות הראשון של גדל''', שהפך לאבן פינה ב[[לוגיקה מתמטית|לוגיקה המתמטית]], הוסיף אפשרות שלישית לגורל הצפוי לטענה מתמטית. המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות [[אלגוריתם]] טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות. הטענה דומה מאוד ל[[פרדוקס השקרן]] (פרדוקס שבו אדם מסוים אומר "אני עכשיו משקר"), אך שונה ממנה, שכן לא נטען בה שהיא איננה נכונה. ההוכחה הפורמלית של המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן לבנות טענה פורמלית האומרת "לא ניתן להוכיח אותי".
+'''משפט האי-שלמות הראשון של גדל''', שהפך לאבן פינה ב[[לוגיקה מתמטית|לוגיקה המתמטית]], הוסיף אפשרות שלישית לגורל הצפוי לטענה מתמטית. המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות [[אלגוריתם]] טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות. הטענה דומה מאוד ל[[פרדוקס השקרן]] (פרדוקס שבו אדם מסוים אומר "אני עכשיו משקר"), אך שונה ממנה, שכן לא נטען בה שהיא איננה נכונה. ההוכחה הפורמלית של המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן לבנות טענה פורמלית האומרת "לא ניתן להוכיח אותי".
 במשך שנים לאחר פרסום המשפטים רווחה ההנחה שאמנם קיימות טענות שלא ניתן להוכיח או להפריך אך הן "לא טבעיות", כלומר לא סביר שבמהלך פיתוח סטנדרטי של תורה מתמטית ניתקל במשפטים כאלו. ההנחה הזו התבררה כשגויה באופן קיצוני בעקבות הוכחת ה[[עצמאות (לוגיקה מתמטית)|עצמאות]] של [[השערת הרצף]]. השערת הרצף שהוצעה על ידי [[גיאורג קנטור]], טוענת כי לא קיימת קבוצה ש[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] גדולה מזו של המספרים הטבעיים וקטנה מזו של המספרים הממשיים. השערה זו נחשבה לאחת מהבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה בתחילת המאה ה-20 (זו הבעיה הראשונה ברשימת [[23 הבעיות של הילברט]]). בשנת [[1937]] הוכיח גדל כי לא ניתן '''להפריך''' השערה זו במסגרת [[תורת הקבוצות האקסיומטית| אקסיומות ZFC]] ובשנת [[1963]] הוכיח [[פול כהן]] כי לא ניתן '''להוכיח''' השערה זו במסגרת ZFC.
-ב'''משפט אי-השלמות השני''' הוכיח גדל כי [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] עקבית שהנה מספיק חזקה לקיים את [[אקסיומות פיאנו]] (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את ה[[תורת הקבוצות האקסיומטית|אקסיומות של תורת הקבוצות (ZF)]] לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות. אולם, האפשרות שאי אפשר להפריך את העקביות של עצמה תלויה במערכת האקסיומות שלה (יכול להיות שטענה זאת בלתי תלויה במערכת האקסיומות שלך ויכול להיות שהיא לא נכונה).
+ב'''משפט האי-שלמות השני''' הוכיח גדל כי [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] עקבית שהנה מספיק חזקה לקיים את [[אקסיומות פיאנו]] (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את ה[[תורת הקבוצות האקסיומטית|אקסיומות של תורת הקבוצות (ZF)]] לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות. אולם, האפשרות שאי אפשר להפריך את העקביות של עצמה תלויה במערכת האקסיומות שלה (יכול להיות שטענה זאת בלתי תלויה במערכת האקסיומות שלך ויכול להיות שהיא לא נכונה).
 תנאי המשפט אינם מחייבים מספר סופי של אקסיומות. כלומר, גם אילו היו בידינו אינסוף אקסיומות של [[תורת המספרים]], היה המשפט מתקיים בתנאי הרגיל, שניתן יהיה לזהות בקלות האם טענה נתונה היא אקסיומה של המערכת (תכונה זו נקראת [[תורה אפקטיבית|אפקטיביות]]).
@@ שורה 22: / שורה 22: @@
 ==ההשפעה של המשפט==
-ההשפעה של המשפט על התפתחות המתמטיקה הייתה רבה. משפט אי־השלמות למעשה ייתר את [[תוכנית הילברט]] ובכך פגע אנושות בניסיון לבצע אקסיומטיזציה של המתמטיקה. לאחר ההוכחה, חדלו המתמטיקאים בהדרגה לעסוק בנושא בניית [[יסודות המתמטיקה]] שהעסיקם רבות בראשית המאה ה-20 עקב תחושה של יאוש מהנושא.
+ההשפעה של המשפט על התפתחות המתמטיקה הייתה רבה. משפט האי-שלמות למעשה ייתר את [[תוכנית הילברט]] ובכך פגע אנושות בניסיון לבצע אקסיומטיזציה של המתמטיקה. לאחר ההוכחה, חדלו המתמטיקאים בהדרגה לעסוק בנושא בניית [[יסודות המתמטיקה]] שהעסיקם רבות בראשית המאה ה-20 עקב תחושה של יאוש מהנושא.
 משפט גדל היווה גם, על פי תפיסות מסוימות, הפרכה לתפיסה ה[[פורמליזם (מתמטיקה)|פורמליסטית]] של המתמטיקה כאוסף כללים חסרי משמעות מחוץ למערכת או שמשמעותם מחוץ למערכת אינה עניין מתמטי. חוסר היכולת לקבוע פורמלית את נכונותם של משפטים אלו ואחרים שימש כראייה לכך שהאדם לא מסוגל לתפוס כל אמת, שהרי כל הוכחה הידועה לאדם מבוססת על מערכת אקסיומות סופית.
-טענה אחרת דווקא מסיקה מהמשפט את עליונותו של האדם. על פי טענה זו, ישנן אמיתות שאף [[מחשב]] תאורטי לא יכול להכילן (מדובר על מודל של מחשב, בלי תלות בקיומו הממשי, ראו [[מדעי המחשב]] ו[[מכונת טיורינג]]), כיוון שעל פי [[תזת צ'רץ'-טיורינג]] כל ההוכחות האפשריות של המחשב המושלם ([[מכונת טיורינג]]) יכולות להיות מאורגנות בצורת מערכת פורמלית. ואולם, האדם יהיה מסוגל לדעת גם טענות שלא כלולות במערכת זו (דוגמה המובאת לטענה זו היא עקביות המערכת הפורמלית בה משתמש המחשב). הפיזיקאי [[רוג'ר פנרוז]] התבסס על משפטי אי־השלמות של גדל בהעלותו את ההשערה כי ה[[אינטליגנציה]] האנושית ניתנת להסבר רק על ידי קיומן ההיפותטי של אינטראקציות קוונטיות ב[[מוח]]. אף לא אחת מטענות אלו מוסכמת על כלל הפילוסופים, ובוודאי ששתיהן אינן עומדות בדרישות ה[[ריגורוזיות]] המתמטית.
+טענה אחרת דווקא מסיקה מהמשפט את עליונותו של האדם. על פי טענה זו, ישנן אמיתות שאף [[מחשב]] תאורטי לא יכול להכילן (מדובר על מודל של מחשב, בלי תלות בקיומו הממשי, ראו [[מדעי המחשב]] ו[[מכונת טיורינג]]), כיוון שעל פי [[תזת צ'רץ'-טיורינג]] כל ההוכחות האפשריות של המחשב המושלם ([[מכונת טיורינג]]) יכולות להיות מאורגנות בצורת מערכת פורמלית. ואולם, האדם יהיה מסוגל לדעת גם טענות שלא כלולות במערכת זו (דוגמה המובאת לטענה זו היא עקביות המערכת הפורמלית בה משתמש המחשב). הפיזיקאי [[רוג'ר פנרוז]] התבסס על משפטי האי-שלמות של גדל בהעלותו את ההשערה כי ה[[אינטליגנציה]] האנושית ניתנת להסבר רק על ידי קיומן ההיפותטי של אינטראקציות קוונטיות ב[[מוח]]. אף לא אחת מטענות אלו מוסכמת על כלל הפילוסופים, ובוודאי ששתיהן אינן עומדות בדרישות ה[[ריגורוזיות]] המתמטית.
-ההשפעה מחוץ לתחומי המתמטיקה הייתה רבה אף היא. משפט אי־השלמות משמש את חסידי [[העידן החדש]] על מנת לנגח את יומרתו כביכול של המדע לדעת הכל. לטענתם, אם אפילו המערכות המתמטיות הבסיסיות ביותר אינן ניתנות להוכחה, אזי ישנה בעייתיות בגישה על פיה מסוגל המדע להבין את העולם. משפט זה נכרך לעתים קרובות יחד עם [[מכניקת הקוונטים]] בידי גורמים עוינים למדע על מנת להוכיח את אי היכולת של המדע לדעת הכול. תרומתו של המשפט ל[[פוסטמודרניזם]] עמדה בניגוד מוחלט לגדל, שהיה [[פלטוניזם|פלטוניסט]].
+ההשפעה מחוץ לתחומי המתמטיקה הייתה רבה אף היא. משפט האי-שלמות משמש את חסידי [[העידן החדש]] על מנת לנגח את יומרתו כביכול של המדע לדעת הכל. לטענתם, אם אפילו המערכות המתמטיות הבסיסיות ביותר אינן ניתנות להוכחה, אזי ישנה בעייתיות בגישה על פיה מסוגל המדע להבין את העולם. משפט זה נכרך לעתים קרובות יחד עם [[מכניקת הקוונטים]] בידי גורמים עוינים למדע על מנת להוכיח את אי היכולת של המדע לדעת הכול. תרומתו של המשפט ל[[פוסטמודרניזם]] עמדה בניגוד מוחלט לגדל, שהיה [[פלטוניזם|פלטוניסט]].
-בספרו [[שלוש מהפכות קופרניקניות]] הציג ה[[פרופסור]] [[זאב בכלר]] את משפטי אי־השלמות של גדל כהפרכה אחת מני רבות לתפיסה אותה הוא מכנה "אקטואליזם". במקרה זה, טענתו היא שהמתמטיקה מכילה תוכן ולא רק צורה, בניגוד לתפיסות אקטואליסטיות שטוענות להפך. זאת, בהתאם להתמקדותם הכללית (על פי המתואר בספר) בצורניות ובשפה ולא בעולם, מתוך ההנחה ש"אין משמעות למושג האמת"- פילוסופיה שתקפה הן לגבי המוסר והן לגבי המדע והמתמטיקה. בכך הולך בכלר בדרכו של גדל עצמו במידת מה, בניגוד לתפיסות הפוסטמודרניות, שכן גדל האמין באמת אחת והתכוון שמשפטו יהווה הפרכה לפורמליזם שראה כמרוקן את המתמטיקה מתוכנה.
+בספרו [[שלוש מהפכות קופרניקניות]] הציג ה[[פרופסור]] [[זאב בכלר]] את משפטי האי-שלמות של גדל כהפרכה אחת מני רבות לתפיסה אותה הוא מכנה "אקטואליזם". במקרה זה, טענתו היא שהמתמטיקה מכילה תוכן ולא רק צורה, בניגוד לתפיסות אקטואליסטיות שטוענות להפך. זאת, בהתאם להתמקדותם הכללית (על פי המתואר בספר) בצורניות ובשפה ולא בעולם, מתוך ההנחה ש"אין משמעות למושג האמת"- פילוסופיה שתקפה הן לגבי המוסר והן לגבי המדע והמתמטיקה. בכך הולך בכלר בדרכו של גדל עצמו במידת מה, בניגוד לתפיסות הפוסטמודרניות, שכן גדל האמין באמת אחת והתכוון שמשפטו יהווה הפרכה לפורמליזם שראה כמרוקן את המתמטיקה מתוכנה.
 ==ראו גם==
-* [[משפט האי-שלמות של צ'ייטין|משפט אי־השלמות של צ'ייטין]]
+* [[משפט האי-שלמות של צ'ייטין]]
-* [[משפט הרקורסיה]] - משמשת בחלק מההוכחות למשפטי אי־השלמות של גדל.
+* [[משפט הרקורסיה]] - משמשת בחלק מההוכחות למשפטי האי-שלמות של גדל.
 * [[משפט סקולם-לוונהיים]] - משפט נוסף על מגבלות כוח התיאור של [[לוגיקה מסדר ראשון|הלוגיקה מסדר ראשון]].
-* [[משפט האי-גדירות של טרסקי|משפט אי-הגדירות של טרסקי]]
+* [[משפט האי-גדירות של טרסקי]]
 ==לקריאה נוספת==
@@ שורה 42: / שורה 42: @@
 * [[ארנון אברון]], '''משפטי גדל ובעיית יסודות המתמטיקה''', [[משרד הביטחון - ההוצאה לאור]], 1998.
 * [[דאגלס הופשטטר]], '''[[גדל, אשר, באך|גדל, אשר, באך - גביש בן-אלמוות]]''', תרגמו: טל כהן וירדן ניר בוכבינדר, [[הוצאת דביר]], 2011.
-* [[רבקה גולדסטיין]], '''ההוכחה והפרדוקס - משפטי אי־השלמות של קורט גדל''', 2006
+* [[רבקה גולדסטיין]], '''ההוכחה והפרדוקס - משפטי האי-שלמות של קורט גדל''', 2006
 * [[מריוס כהן]], "משפטי אי-השלמות של גדל", [[גליליאו (כתב עת)|'''גליליאו''']] 106, יוני 2007