מטריצה אוניטרית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־12:47, 16 ביולי 2017

באלגברה לינארית, מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית מעל המספרים המרוכבים המקיימת את התנאי

A^{*}A=AA^{*}=I

כלומר

{\overline {A^{T}}}A=A{\overline {A^{T}}}=I_{n}\,

כאשר I היא מטריצת היחידה, ו- $\ A^{*}=A^{\dagger }={\overline {A^{T}}}$ הצמוד ההרמיטי של מטריצה A.

מטריצה אוניטרית היא מקרה פרטי של מטריצה נורמלית.

מטריצה אוניטרית שכל מרכיביה הם מספרים ממשיים היא מטריצה אורתוגונלית.

תכונות של מטריצות אוניטריות

$A\,$ מטריצה הפיכה ו- $A^{-1}={\overline {A^{T}}}\,$
מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: $\langle Ax,Ay\rangle =\langle x,A^{*}Ay\rangle =\langle x,Iy\rangle =\langle x,y\rangle$ (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, $\ \|Ax\|=\|x\|$ . כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1, ולכן כל ערכיה העצמיים של מטריצה אוניטרית נמצאים על מעגל היחידה של המישור המרוכב.
אם A אוניטרית אז, $A^{*}\,$ ו- ${\overline {A}}$ הן גם אוניטריות.
מטריצה nxn מעל שדה $\mathbb {F}$ היא אוניטרית אם ורק אם שורותיה הן בסיס אורתונורמלי של $\mathbb {F} ^{n}$ ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.
מטריצה nxn מעל שדה $\mathbb {F}$ היא אוניטרית אם ורק אם עמודותיה הן בסיס אורתונורמלי של $\mathbb {F} ^{n}$ ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.

חבורת המטריצות האוניטריות

שגיאות פרמטריות בתבנית:להשלים
'נושא: אלגברה' אינו ערך חוקי

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר n מהווה חבורה כאשר הפעולה הבינארית של החבורה הינה כפל מטריצות ומסומנת $\mathrm {U} (n)$ . תת-חבורת המטריצות האוניטריות עם דטרמיננטה השווה ל-1 נקראת "חבורת המטריצות האוניטריות המיוחדות" ומסומנת $\mathrm {SU} (n)$ .

ראו גם

אופרטור אוניטרי

@@ שורה 10: / שורה 10: @@
 * <math>A\,</math> [[מטריצה הפיכה]] ו-<math>A^{-1} = \overline{A^T}\,</math>
 * מטריצה אוניטרית שומרת [[מכפלה פנימית]]: <math> \langle Ax,Ay \rangle = \langle x , A^{*}Ay \rangle = \langle x , Iy \rangle = \langle x,y \rangle</math> (כאן נעזרנו בתכונות [[אופרטור הרמיטי|הצמוד ההרמיטי]] ב[[מכפלה פנימית]])
-* מטריצה אוניטרית שומרת על [[נורמה (אנליזה)|נורמה]], <math>\ \| A x \| = \| x \|</math>. כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
+* מטריצה אוניטרית שומרת על [[נורמה (אנליזה)|נורמה]], <math>\ \| A x \| = \| x \|</math>. כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1, ולכן כל ערכיה העצמיים של מטריצה אוניטרית נמצאים על מעגל היחידה של המישור המרוכב.
-* אם A אוניטרית <math>A^*\,</math> ו-<math>\overline{A}</math> גם הן אוניטריות
+* אם A אוניטרית אז, <math>A^*\,</math> ו- <math>\overline{A}</math> הן גם אוניטריות.
 * מטריצה nxn מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math> היא אוניטרית [[אם ורק אם]] שורותיה הן [[בסיס אורתונורמלי]] של <math>\mathbb{F}^n</math> ביחס ל[[מכפלה פנימית|מכפלה הפנימית]] הסטנדרטית בו.
 * מטריצה nxn מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> היא אוניטרית [[אם ורק אם]] עמודותיה הן [[בסיס אורתונורמלי]] של <math>\mathbb{F}^n</math> ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.
-* [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של כל [[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] של מטריצה אוניטרית הוא [[1 (מספר)|1]].
-* כל ערכיה העצמיים של מטריצה אוניטרית נמצאים על מעגל היחידה של המישור המרוכב.
 ==חבורת המטריצות האוניטריות==

נושאים באלגברה ליניארית
מושגי יסוד	שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה
וקטורים	סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד
מטריצות	כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן
העתקות	העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית
מרחבי מכפלה פנימית	מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה
תבניות	תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור