עקביות (לוגיקה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־01:50, 12 בנובמבר 2006

ערך זה עוסק בעקביות בלוגיקה. אם התכוונתם לעקביות בתחומים אחרים, ראו עקביות.

עקביות (או- קונסיסטנטיות, קוהרנטיות) הוא מושג בלוגיקה ובמתמטיקה המציין שמערכת מסויימת היא נטולת סתירות. בלוגיקה מתמטית, תורה עקבית היא כזו שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה והיפוכה. בתורות לא עקביות אפשר להוכיח כל טענה (משום שמהנחות שקריות נובעת כל מסקנה שהיא), ולכן נחשבת עקביות למעלה הכרחית בכל תורה המכבדת את עצמה.

בכדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא מודל שמקיים את כל האקסיומות של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח עקביות יחסית - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור גאומטריות שונות (למשל, שתי הגרסאות הלא אוקלידיות של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות לתורת הקבוצות.

עם זאת, ישנן מערכות אקסיומות עקביות שאין להן מודל. בכדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר. משפט אי השלמות השני של גדל קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה אריתמטית ואפקטיבית (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.

ראו גם

תורה (לוגיקה מתמטית)

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 {{פירוש נוסף|נוכחי=עקביות בלוגיקה|אחר=עקביות בתחומים אחרים|ראו=[[עקביות]]}}
-'''עקביות''' (או- '''קונסיסטנטיות''', '''קוהרנטיות''') הוא מושג ב[[לוגיקה]] ו[[מתמטיקה]] המציין שאין סתירה במערכת מסוימת. סתירה במערכת הנחות של [[השערה (מתמטיקה)|השערה]] או [[טיעון]] תביא להטלת ספק בנכונות המסקנה הנגזרת מהם.
+'''עקביות''' (או- '''קונסיסטנטיות''', '''קוהרנטיות''') הוא מושג ב[[לוגיקה]] וב[[מתמטיקה]] המציין שמערכת מסויימת היא נטולת סתירות. ב[[לוגיקה מתמטית]], [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] '''עקבית''' היא כזו שלא ניתן להוכיח במסגרתה [[טענה (לוגיקה מתמטית)|טענה]] והיפוכה. בתורות לא עקביות אפשר להוכיח כל טענה (משום שמהנחות שקריות נובעת כל מסקנה שהיא), ולכן נחשבת עקביות למעלה הכרחית בכל תורה המכבדת את עצמה.
+בכדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] שמקיים את כל האקסיומות של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח '''עקביות יחסית''' - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור גאומטריות שונות (למשל, שתי הגרסאות ה[[גאומטריה לא אוקלידית|לא אוקלידיות]] של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות ל[[תורת הקבוצות האקסיומטית|תורת הקבוצות]].
-==קונסיסטנטיות לוגית==
+עם זאת, ישנן מערכות אקסיומות עקביות שאין להן מודל. בכדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר. [[משפטי אי השלמות של גדל|משפט אי השלמות השני של גדל]] קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה אריתמטית ואפקטיבית (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.
-קבוצת [[משפט (בלשנות)|משפטים]] תקרא קבוצה קונסיסטנטית אם כל המשפטים בה יכולים להיות [[ערך אמת|אמיתיים]] במקביל.
-ישנו קשר בין עקביות ל[[תקף|תקפות]] של טיעון. ניתן להגדיר את מושג התקפות על ידי שימוש במושג העקביות: טיעון יהיה תקף אם בכל מצב בו כל ההנחות יכולות להיות אמיתיות- גם המסקנה תהיה אמיתית. בהתאם, ניתן להפריך טיעון על ידי הוכחה שיתכן מצב בו ההנחות ושלילת המסקנה יהיו קבוצה עקבית.
-הוכחת [[חוסר עקביות|חוסר העקביות]] של קבוצת הנחות יכולה לשמש להפרכת טיעון המתבסס עליהן, אך אינה מעידה בוודאות על היותה של המסקנה שקרית, רק על כך שהדרך בה הגיע מנסח הטיעון למסקנה אינה לוגית.
-==עקביות מתמטית==
-מערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] נקראת עקבית אם אין בה סתירה.
-<!--למשל מערכת האקסיומות הבאה:
-א. ישנם לכל היותר 3 מספרים שונים.
-ב. כל קבוצה מכילה לכל היותר שני מספרים שונים.
-ג. ישנם לפחות 8 קבוצות שונות.
-אינה עקבית משום שיש בה סתירה:
-אם ישנם 3 מספרים שונים בדיוק, נניח A,B ו-C, אז יתכנו רק 7 קבוצות אפשריות והן -
-{C} {A,B}, {A,C} {B,C} {A} {B}   והקבוצה הריקה.
-וודאי שכאשר יש פחות משלושה מספרים שונים אז יש רק פחות קבוצות אפשריות.
-והוכחנו שמספר הקבוצות השונות הוא לכל היותר 7, בסתירה לאקסיומה ג' שאומרת כי יש 8 קבוצות שונות לכל הפחות.-->
-בכדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא [[מודל]] שמקיים את כל אקסיומות המערכת (אם במערכת יש סתירה אז ברור כי לא קיים מודל שממלא אחר כל האקסיומות שלה).
-<!--לדוגמה למערכת האקסיומות:
-א. קיימים N ו-M שני מספרים שונים.
-ב. מתקיים N^M=M^N'''
-ג. N ו- M שניהם מספרים זוגיים
-קיים מודל והוא ששני המספרים הם 2 ו-4. ומכאן נובע שהמערכת הינה עקבית.-->
-ראוי לציין שישנן מערכות אקסיומות עקביות כך שלא קיים מודל שמקיים אותן, בכדי להוכיח כי מערכות אלו עקביות צריך להשתמש בכלים מתמטיים חזקים יותר מאשר מציאת מודל.
-מכיוון שאפשר לפתח תאוריות מורכבות ביותר על סמך כמה ממערכות האקסיומות המורכבות יותר, נוצר קושי לבדוק, במערכת אקסיומות נתונה, את מידת העקביות של המערכת. השאלה אם אפשר להוכיח, על פי האקסיומות הנתונות במערכת מסוימת, את עקביותה שלה, היא שאלה שנדונה רבות על ידי מתמטיקאים.
 == ראו גם ==