אקסיומות המנייה – הבדלי גרסאות
מ אקסיומות המניה הועבר לאקסיומות המנייה: כך יש לכתוב |
מ יודים וווים |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
'''אקסיומות |
'''אקסיומות המנייה''' הן הנחות המתייחסות לגודל של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] מיוחדות ב[[מרחב טופולוגי]], ובפרט להנחה שקבוצות אלו הן [[קבוצה בת מנייה|בנות מנייה]]. מרחבים אשר מקיימים תכונות אלה הם מרחבים אשר מספר הקבוצות הפתוחות בהם הוא 'קטן' במובן מסוים, , ולכן מרחבים אלה קלים יותר לטיפול. |
||
'''אקסיומת |
'''אקסיומת המנייה הראשונה''' קובעת שלכל נקודה במרחב הטופולוגי יש בסיס סביבות בן מנייה. אקסיומה זו מתקיימת בכל [[מרחב מטרי]]. |
||
בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, '''אקסיומת |
בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, '''אקסיומת המנייה השנייה''' קובעת שלמרחב עצמו יש בסיס בן מנייה. האקסיומה השנייה גוררת את האקסיומה הראשונה, והיא מתקיימת במרחב מטרי [[מרחב חסום כליל|חסום כליל]]. מרחב טופולוגי המקיים את האקסיומה השנייה והינו [[מרחב T3]] הוא מרחב [[מטריזביליות|מטריזבילי]] (כלומר, מרחב זה [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] [[מרחב מטרי|למרחב מטרי]]) לפי [[משפט המטריזציה של אוריסון|משפט אוריסון]]. |
||
==בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה== |
==בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה== |
||
| שורה 9: | שורה 9: | ||
כידוע, 'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס לטופולוגיה|בסיס]] לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של קבוצות מן הבסיס; במלים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה U, קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס מקומי לטופולוגיה|בסיס מקומי]] בנקודה p, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p מכילה קבוצה מן האוסף. מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס, אם ורק אם הוא מהווה בסיס מקומי בכל נקודה. |
כידוע, 'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס לטופולוגיה|בסיס]] לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של קבוצות מן הבסיס; במלים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה U, קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס מקומי לטופולוגיה|בסיס מקומי]] בנקודה p, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p מכילה קבוצה מן האוסף. מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס, אם ורק אם הוא מהווה בסיס מקומי בכל נקודה. |
||
==אקסיומות |
==אקסיומות המנייה== |
||
===האקסיומה הראשונה=== |
===האקסיומה הראשונה=== |
||
נאמר כי ל[[מרחב טופולוגי]] X קיים '''בסיס בן מנייה''' בנקודה y אם קיים אוסף [[בן מנייה]] <math>\mathbb{B}</math> של סביבות של y כך שכל סביבה של y מכילה לפחות סביבה אחת מ<math>\mathbb{B}</math>.<br /> |
נאמר כי ל[[מרחב טופולוגי]] X קיים '''בסיס בן מנייה''' בנקודה y אם קיים אוסף [[בן מנייה]] <math>\mathbb{B}</math> של סביבות של y כך שכל סביבה של y מכילה לפחות סביבה אחת מ<math>\mathbb{B}</math>.<br /> |
||
| שורה 19: | שורה 19: | ||
לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה: |
לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה: |
||
* מרחב טופולוגי הוא מרחב '''ספרבילי''', אם יש בו [[קבוצה צפופה]] בת |
* מרחב טופולוגי הוא מרחב '''ספרבילי''', אם יש בו [[קבוצה צפופה]] בת מנייה. |
||
כל מרחב <math>\ C_{II}</math> הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת |
כל מרחב <math>\ C_{II}</math> הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מנייה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס). במרחב מטרי גם ההיפך נכון. |
||
נזכיר שמרחב קומפקטי הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שלוש תכונות חלשות יותר: [[תכונת לינדלוף]] קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן |
נזכיר שמרחב קומפקטי הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שלוש תכונות חלשות יותר: [[תכונת לינדלוף]] קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מנייה, ולעומתה '''קומפקטיות מנייתית''' היא הדרישה שלכל כיסוי בן-מנייה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות). בנוסף לזה, במרחב קומפקטי לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, וזה נקרא לפעמים '''קומפקטיות סדרתית'''. |
||
מרחב <math>\ C_{I}</math> הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית. |
מרחב <math>\ C_{I}</math> הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית. |
||
| שורה 29: | שורה 29: | ||
המשפט המרכזי על מרחבי <math>\ C_{II}</math> הוא [[משפט אוריסון]], שלפיו מרחב כזה, המקיים גם את [[מרחב T3|תכונת ההפרדה T3]], הוא מטריזבילי. |
המשפט המרכזי על מרחבי <math>\ C_{II}</math> הוא [[משפט אוריסון]], שלפיו מרחב כזה, המקיים גם את [[מרחב T3|תכונת ההפרדה T3]], הוא מטריזבילי. |
||
=== מרחב |
=== מרחב לינדלוף === |
||
[[מרחב טופולוגי]] בו לכל [[כיסוי]] פתוח יש תת כיסוי [[בן מנייה]] נקרא '''מרחב |
[[מרחב טופולוגי]] בו לכל [[כיסוי]] פתוח יש תת כיסוי [[בן מנייה]] נקרא '''מרחב לינדלוף'''. |
||
==לקריאה נוספת== |
==לקריאה נוספת== |
||
גרסה מ־02:14, 15 בנובמבר 2006
אקסיומות המנייה הן הנחות המתייחסות לגודל של קבוצות מיוחדות במרחב טופולוגי, ובפרט להנחה שקבוצות אלו הן בנות מנייה. מרחבים אשר מקיימים תכונות אלה הם מרחבים אשר מספר הקבוצות הפתוחות בהם הוא 'קטן' במובן מסוים, , ולכן מרחבים אלה קלים יותר לטיפול.
אקסיומת המנייה הראשונה קובעת שלכל נקודה במרחב הטופולוגי יש בסיס סביבות בן מנייה. אקסיומה זו מתקיימת בכל מרחב מטרי.
בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, אקסיומת המנייה השנייה קובעת שלמרחב עצמו יש בסיס בן מנייה. האקסיומה השנייה גוררת את האקסיומה הראשונה, והיא מתקיימת במרחב מטרי חסום כליל. מרחב טופולוגי המקיים את האקסיומה השנייה והינו מרחב T3 הוא מרחב מטריזבילי (כלומר, מרחב זה הומיאומורפי למרחב מטרי) לפי משפט אוריסון.
בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה
כידוע, 'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של קבוצות מן הבסיס; במלים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה U, קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס מקומי בנקודה p, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p מכילה קבוצה מן האוסף. מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס, אם ורק אם הוא מהווה בסיס מקומי בכל נקודה.
אקסיומות המנייה
האקסיומה הראשונה
נאמר כי למרחב טופולוגי X קיים בסיס בן מנייה בנקודה y אם קיים אוסף בן מנייה של סביבות של y כך שכל סביבה של y מכילה לפחות סביבה אחת מ.
נאמר כי מרחב טופולוגי X מקיים את אקסיומת המנייה הראשונה אם לכל נקודה בX קיים בסיס בן מנייה.
תכונה זו מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס סביב נקודה מהווים בסיס מקומי), והיא נועדה ללכוד את ההתנהגות המקומית של מרחב מטרי.
האקסיומה השנייה
נאמר כי מרחב טופולוגי X מקיים את אקסיומת המנייה השנייה אם לX יש בסיס בן מנייה לטופולוגיה. כמובן שכל מרחב הוא בפרט (כדי לקבל בסיס מקומי סביב p, מספיק לבחור את אותם אברים של הבסיס המכילים את p). מרחב מטרי חסום כליל הוא .
לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה:
- מרחב טופולוגי הוא מרחב ספרבילי, אם יש בו קבוצה צפופה בת מנייה.
כל מרחב הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מנייה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס). במרחב מטרי גם ההיפך נכון.
נזכיר שמרחב קומפקטי הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שלוש תכונות חלשות יותר: תכונת לינדלוף קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מנייה, ולעומתה קומפקטיות מנייתית היא הדרישה שלכל כיסוי בן-מנייה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות). בנוסף לזה, במרחב קומפקטי לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, וזה נקרא לפעמים קומפקטיות סדרתית.
מרחב הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית.
כל מרחב מקיים את תכונת לינדלוף. במרחב מטרי גם הכיוון ההפוך נכון: תכונת לינדלוף גוררת .
המשפט המרכזי על מרחבי הוא משפט אוריסון, שלפיו מרחב כזה, המקיים גם את תכונת ההפרדה T3, הוא מטריזבילי.
מרחב לינדלוף
מרחב טופולוגי בו לכל כיסוי פתוח יש תת כיסוי בן מנייה נקרא מרחב לינדלוף.
לקריאה נוספת
- דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 6 (כרך ג'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.