איבר יחידה

במתמטיקה, כאשר על קבוצה מוגדרת פעולה בינארית בין איבריה, איבר יחידה (או איבר נייטרלי או איבר אדיש) הוא איבר בקבוצה שהפעולה המתבצעת אתו ועם איבר אחר בקבוצה אינה משנה את האיבר האחר.

במבנים אלגבריים רבים, כגון חבורה, חוג ושדה, קיומו של איבר יחידה הוא אחד המאפיינים של המבנה האלגברי.

איבר יחידה כפלי

בקבוצה $S$ , אשר כוללת את הפעולה הבינארית $\cdot$ (מכפלה סקלרית), איבר היחידה הכפלי הנו אלמנט (איבר) $e$, הנמצא בקבוצה $S$ (כלומר: $e\in S$), ומקיים את התכונה:
$e\cdot x=x\cdot e=x$
לכל איבר $x$ הנמצא בקבוצה $S$, כלומר לכל $x\in S$.

כאשר נתונים קבוצה $\ S$ ופעולה בינארית, שנסמנה $\ \star$, המוגדרת על איבריה, אזי:

• איבר $\ e\in S$ ייקרא איבר יחידה שמאלי, אם לכל $\ x\in S$ מתקיים $\ e\star x=x$.
• איבר $\ e\in S$ ייקרא איבר יחידה ימני, אם לכל $\ x\in S$ מתקיים $\ x\star e=x$.

אם $\ e$ הוא איבר יחידה שמאלי וגם איבר יחידה ימני, הוא ייקרא בפשטות איבר היחידה.

נניח כי $\ e,e^{\prime }$ איברי יחידה, אז $\ e=e\star e^{\prime }=e^{\prime }$ ומכאן שאם ישנו איבר יחידה, אז הוא בהכרח יחיד.

נניח כי$e_{R},e_{L}$ איבר יחידה ימיני ואיבר יחידה שמאלי בהתאמה, אז $e_{L}=e_{L}\star e_{R}=e_{R}$ ומכאן שאם קיימים הן איבר יחידה שמאלי והן איבר יחידה ימני, אז הם אותו איבר.

דוגמאות

• בפעולת החיבור המקובלת, איבר היחידה הוא 0, משום שלכל מספר a מתקיים: $a+0=0+a=a$. איבר יחידה זה קרוי איבר האפס.
• בפעולת הכפל המקובלת, איבר היחידה הוא 1, משום שלכל מספר a מתקיים: $a\times 1=1\times a=a$.
• בפעולת החזקה המקובלת, איבר היחידה הימני הוא 1, משום שלכל מספר a מתקיים: $a^{1}=a$.‏ 1 אינו איבר היחידה השמאלי, $1^{a}=1$, לא קיים איבר יחידה שמאלי לחזקה.
• בכפל מטריצות איבר היחידה הוא מטריצת היחידה $\ I$, שהיא המטריצה שרכיבי האלכסון שלה הם 1 ושאר הרכיבים אפס, המקיימת: $\ A\cdot I=I\cdot A=A$.
• בפעולת איחוד בין קבוצות, איבר היחידה הוא הקבוצה הריקה.
• בהרכבת פונקציות, איבר היחידה הוא פונקציית הזהות.