איבר יחידה – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ביטול גרסה 21938584 של דניאל ב. (שיחה) שחזור של השטויות שכתבתי, לפי דבריו של האדם הבזוי והנקלה הנ"ל.
ביטול גרסה 21938873 של Yoelpiccolo31 (שיחה), שחזור. הדף עליו אני שוקד הועבר לטיוטה הפרטית שלי, בהמלצת פרופ' עוזי ויש
שורה 1: שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], כאשר על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] מוגדרת [[פעולה בינארית]] בין איבריה, '''איבר יחידה''' (או '''איבר נייטרלי''' או '''איבר אדיש'''){{אנ|Identity element}} הוא איבר בקבוצה, שהפעולה המתבצעת עמו ועם איבר אחר בקבוצה- '''אינה משנה את האיבר האחר'''.
ב[[מתמטיקה]], כאשר על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] מוגדרת [[פעולה בינארית]] בין איבריה, '''איבר יחידה''' (או '''איבר נייטרלי''' או '''איבר אדיש''') הוא איבר בקבוצה שהפעולה המתבצעת אתו ועם איבר אחר בקבוצה אינה משנה את האיבר האחר.

ב[[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] רבים, כגון [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] ו[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], קיומו של איבר יחידה הוא אחד המאפיינים של המבנה האלגברי.

== איבר יחידה כפלי ==

ב[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>S</math> , אשר כוללת את ה[[פעולה בינארית|פעולה הבינארית]] <math>\cdot</math> ([[מכפלה סקלרית]]){{הערה|באנגלית: Product או Dot product.}}{{אנ|Product (mathematics)}}, איבר היחידה הכפלי הנו אלמנט (איבר) <math>e</math>, הנמצא בקבוצה <math>S</math> (כלומר: <math>e\in S</math>), ומקיים את התכונה:{{ש}}
<math>e\cdot x=x\cdot e=x </math>{{ש}}לכל איבר <math>x</math> הנמצא בקבוצה <math>S</math>, כלומר לכל <math>x\in S</math>.


כאשר נתונים קבוצה <math>\ S</math> ופעולה בינארית, שנסמנה <math>\ \star</math>, המוגדרת על איבריה, אזי:
כאשר נתונים קבוצה <math>\ S</math> ופעולה בינארית, שנסמנה <math>\ \star</math>, המוגדרת על איבריה, אזי:
שורה 17: שורה 10:
נניח כי<math>e_R,e_L</math> איבר יחידה ימיני ואיבר יחידה שמאלי בהתאמה, אז <math>e_L = e_L \star e_R = e_R</math> ומכאן שאם קיימים הן איבר יחידה שמאלי והן איבר יחידה ימני, אז הם אותו איבר.
נניח כי<math>e_R,e_L</math> איבר יחידה ימיני ואיבר יחידה שמאלי בהתאמה, אז <math>e_L = e_L \star e_R = e_R</math> ומכאן שאם קיימים הן איבר יחידה שמאלי והן איבר יחידה ימני, אז הם אותו איבר.


ב[[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] רבים, כגון [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] ו[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], קיומו של איבר יחידה הוא אחד המאפיינים של המבנה האלגברי.
== דוגמאות ==

'''דוגמאות'''
* בפעולת ה[[חיבור]] המקובלת, איבר היחידה הוא [[0 (מספר)|0]], משום שלכל מספר a מתקיים: <math>a+0 = 0+a = a</math>. איבר יחידה זה קרוי [[איבר האפס]].
* בפעולת ה[[חיבור]] המקובלת, איבר היחידה הוא [[0 (מספר)|0]], משום שלכל מספר a מתקיים: <math>a+0 = 0+a = a</math>. איבר יחידה זה קרוי [[איבר האפס]].
* בפעולת ה[[כפל]] המקובלת, איבר היחידה הוא [[1 (מספר)|1]], משום שלכל מספר a מתקיים: <math>a \times 1 = 1 \times a = a</math>.
* בפעולת ה[[כפל]] המקובלת, איבר היחידה הוא [[1 (מספר)|1]], משום שלכל מספר a מתקיים: <math>a \times 1 = 1 \times a = a</math>.
שורה 24: שורה 19:
* בפעולת [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] בין [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], איבר היחידה הוא [[הקבוצה הריקה]].
* בפעולת [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] בין [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], איבר היחידה הוא [[הקבוצה הריקה]].
* בהרכבת [[פונקציה|פונקציות]], איבר היחידה הוא [[פונקציית הזהות]].
* בהרכבת [[פונקציה|פונקציות]], איבר היחידה הוא [[פונקציית הזהות]].

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}


[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:אלגברה]]

גרסה מ־12:57, 14 בנובמבר 2017

במתמטיקה, כאשר על קבוצה מוגדרת פעולה בינארית בין איבריה, איבר יחידה (או איבר נייטרלי או איבר אדיש) הוא איבר בקבוצה שהפעולה המתבצעת אתו ועם איבר אחר בקבוצה אינה משנה את האיבר האחר.

כאשר נתונים קבוצה ופעולה בינארית, שנסמנה , המוגדרת על איבריה, אזי:

  • איבר ייקרא איבר יחידה שמאלי, אם לכל מתקיים .
  • איבר ייקרא איבר יחידה ימני, אם לכל מתקיים .

אם הוא איבר יחידה שמאלי וגם איבר יחידה ימני, הוא ייקרא בפשטות איבר היחידה.

נניח כי איברי יחידה, אז ומכאן שאם ישנו איבר יחידה, אז הוא בהכרח יחיד.

נניח כי איבר יחידה ימיני ואיבר יחידה שמאלי בהתאמה, אז ומכאן שאם קיימים הן איבר יחידה שמאלי והן איבר יחידה ימני, אז הם אותו איבר.

במבנים אלגבריים רבים, כגון חבורה, חוג ושדה, קיומו של איבר יחידה הוא אחד המאפיינים של המבנה האלגברי.

דוגמאות

  • בפעולת החיבור המקובלת, איבר היחידה הוא 0, משום שלכל מספר a מתקיים: . איבר יחידה זה קרוי איבר האפס.
  • בפעולת הכפל המקובלת, איבר היחידה הוא 1, משום שלכל מספר a מתקיים: .
  • בפעולת החזקה המקובלת, איבר היחידה הימני הוא 1, משום שלכל מספר a מתקיים: .‏ 1 אינו איבר היחידה השמאלי, , לא קיים איבר יחידה שמאלי לחזקה.
  • בכפל מטריצות איבר היחידה הוא מטריצת היחידה , שהיא המטריצה שרכיבי האלכסון שלה הם 1 ושאר הרכיבים אפס, המקיימת: .
  • בפעולת איחוד בין קבוצות, איבר היחידה הוא הקבוצה הריקה.
  • בהרכבת פונקציות, איבר היחידה הוא פונקציית הזהות.