[[קובץ:sinh cosh tanh.png|שמאל|ממוזער|300px|<fontcolor=#b30000>sinh</font>, <fontcolor=#00b300>cosh</font> and <fontcolor=#0000b3>tanh</font>]]
[[קובץ:sinh cosh tanh.png|שמאל|ממוזער|300px|<span style="color:#b30000;">sinh</span>, <span style="color:#00b300;">cosh</span> and <span style="color:#0000b3;">tanh</span>]]
[[קובץ:csch sech coth.png|שמאל|ממוזער|300px|<fontcolor=#b30000>csch</font>, <fontcolor=#00b300>sech</font> and <fontcolor=#0000b3>coth</font>
[[קובץ:csch sech coth.png|שמאל|ממוזער|300px|<span style="color:#b30000;">csch</span>, <span style="color:#00b300;">sech</span> and <span style="color:#0000b3;">coth</span>
]]
]]
שורה 47:
שורה 47:
למרות זאת, הפונקציות ההיפרבוליות אינן [[פונקציה מחזורית|פונקציות מחזוריות]], בניגוד לפונקציות הטריגנומטריות הרגילות, שכן בהצגתן המעריכית של הפונקציות הטריגנומטריות הרגילות ישנו חלק מעריכי [[מספרים מרוכבים|מרוכב]] אשר תורם למחזוריות הפונקציה, אך נעדר מן הפונקציות ההיפרבוליות.
למרות זאת, הפונקציות ההיפרבוליות אינן [[פונקציה מחזורית|פונקציות מחזוריות]], בניגוד לפונקציות הטריגנומטריות הרגילות, שכן בהצגתן המעריכית של הפונקציות הטריגנומטריות הרגילות ישנו חלק מעריכי [[מספרים מרוכבים|מרוכב]] אשר תורם למחזוריות הפונקציה, אך נעדר מן הפונקציות ההיפרבוליות.
ההצגות המעריכיות של הפונקציות ההיפרבוליות והרגילות הן דומות, פרט, כאמור, לקיומו של החלק המרוכב בפונקציות הטריגנומטריות הרגילות. כך, למשל, פונקציית הסינוס מוגדרת כך: <math>\ \sin(x)= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} </math> בעוד מקבילתה ההיפרבולית מוגדרת כך, כאמור:
ההצגות המעריכיות של הפונקציות ההיפרבוליות והרגילות הן דומות, פרט, כאמור, לקיומו של החלק המרוכב בפונקציות הטריגנומטריות הרגילות. כך, למשל, פונקציית הסינוס מוגדרת כך: <math>\ \sin(x)= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} </math> בעוד מקבילתה ההיפרבולית מוגדרת כך, כאמור:
<math>\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>.
<math>\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>.
גרסה מ־20:14, 30 בנובמבר 2017
במתמטיקה, פונקציות היפרבוליות אנלוגיות לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות: בעוד שהנקודות יוצרות יחדיו מעגל, הנקודות מגדירות את החלק הימני של ההיפרבולה, ומכאן שמן. הפרמטר הוא זווית היפרבולית המייצגת את פעמיים השטח בין ציר ה־X, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על העקום לעיל, כפי שמתואר באיור משמאל.
כשם שהנקודות מגדירות מעגל, הנקודות מגדירות את החלק הימני של ההיפרבולה (הקביעה מתבססת על הזהות ועל כך ש- לכל ).
הפרמטר t איננו זווית מעגלית, אלא זווית היפרבולית שמייצגת את פעמיים השטח בין ציר ה־X, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על ההיפרבולה (cosh t, sinh t).
למרות זאת, הפונקציות ההיפרבוליות אינן פונקציות מחזוריות, בניגוד לפונקציות הטריגנומטריות הרגילות, שכן בהצגתן המעריכית של הפונקציות הטריגנומטריות הרגילות ישנו חלק מעריכי מרוכב אשר תורם למחזוריות הפונקציה, אך נעדר מן הפונקציות ההיפרבוליות.
ההצגות המעריכיות של הפונקציות ההיפרבוליות והרגילות הן דומות, פרט, כאמור, לקיומו של החלק המרוכב בפונקציות הטריגנומטריות הרגילות. כך, למשל, פונקציית הסינוס מוגדרת כך: בעוד מקבילתה ההיפרבולית מוגדרת כך, כאמור:
.
בדומה לפונקציה , הפונקציה היא פונקציה זוגית (סימטרית סביב ציר Y)ו־cosh 0=1. באופן דומה, הן הפונקציה והן הפונקציה הן פונקציות אי זוגית (סימטרית סביב ראשית הצירים)ו . הפונקציות ההיפרבוליות מקיימות זהויות רבות, כולן דומות לזהויות טריגונומטריות. למעשה, חוק אוסבורן מראה שניתן להמיר כל זהות טריגונומטרית לזהות היפרבולית, על ידי החלפת סינוס בסינוס היפרבולי, קוסינוס בקוסינוס היפרבולי, והפיכת הסימן של כל ביטוי שמכיל שני סינוסים היפרבוליים. לדוגמה:
זהויות נוספות
הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות
פונקציות אלו נקראות ארק (דוגמה: ארק סינוס היפרבולי היא הפונקציה ההפוכה לסינוס היפרבולי).
ניתן להביע את הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים:
פונקציות היפרבוליות עבור מספרים מרוכבים
פונקציות היפרבוליות יכולות לקבל בתור ארגומנט מספר מרוכב. ניתן, בעזרת נוסחת אוילר ()
להגיע לקשרים הבאים בין הפונקציות ההיפרבוליות לפונקציות הטריגונומטריות עבור ארגומנטים מרוכבים:
במשוואות הבאות, :
שימושים בפונקציות היפרבוליות
הפונקציות ההיפרבוליות מופיעות בבעיות רבות בתחומי המתמטיקה והפיזיקה, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי : (זאת בעוד שהפונקציות הטריגונומטריות מופיעות בבעיות, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי :).
דוגמאות:
קוסינוס היפרבולי הוא הפונקציה המתארת את צורתו של כבל תלוי בין שני עמודים (עקומת קו השרשרת).
טנגנס היפרבולי הוא הפונקציה המתארת את מהירותו של עצם הנופל נפילה חופשית כשהוא נתון להשפעתם של כוח הכובד ושל כוח התנגדות האוויר.
סינוס היפרבולי מופיע בביטוי לפוטנציאל הכבידתי של גליל, ובחישוב גבול רוש (Roche limit).