משוואת קושי-אוילר

משוואת קושי-אוילר (לעתים נקראת גם משוואת אוילר) היא משוואה דיפרנציאלית רגילה, אשר לה דרך פתרון ייחודית שקשורה לפתרון משוואות דיפרנציאליות לינאריות עם מקדמים קבועים. קרויה על שמותיהם של המתמטיקאים אוגוסטן לואי קושי ולאונרד אוילר.

הגדרה פורמלית

צורתה הכללית של משוואות אוילר ההומוגנית היא כלהלן:

$\sum _{i=0}^{n}{{{a}_{i}{x}^{i}}\cdot {y}^{(i)}(x)}={a}_{n}{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=0$

כאשר המקדמים $a_{i}$ הם מספרים ממשיים, ו-$y(x)$ הנה פונקציה ממשית משתנה. הסדר של המשוואה הנ"ל הוא $n$ אם מתקיים $a_{n}\neq 0$. במקרה זה, היות שמדובר במשוואה לינארית הומוגנית, יש לה n פתרונות בלתי תלויים המהווים מרחב וקטורי.

משוואות אוילר הלא הומוגנית היא מהצורה:

${a}_{n}{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)$

כאשר המקדמים ממשיים ו-$f$ היא פונקציה ממשית כלשהי.

לעתים דנים במשוואה המנורמלת, כלומר כאשר המקדם של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר הוא 1. במשוואה מסדר $n>0$, תמיד ניתן להגיע לצורה זו על ידי חלוקה במקדם, ולכן מעתה נתייחס למשוואה כבצורה:

${x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)$

דוגמאות

נציג מספר משוואות אוילר.

1. ${x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0$ - אפשר להיווכח בכך ש-$y(x)={\frac {1}{{x}^{2}}}$ וגם $y(x)=x$ הם פתרונות בלתי-תלויים למשוואה, ולכן צירוף לינארי שלהם הוא הפתרון הכללי.
2. ${x}^{2}{y}''-x{y}'+y=0$ - הפונקציה $y(x)=x$ היא פתרון למשוואה, כמו גם $y(x)=xln(x)$. היות שהם בלתי-תלויים לינארית, שניהם מהווים בסיס ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי של שני אלו.
3. ${x}^{2}{y}''+xy'+y=0$ - שני הפתרונות הבלתי-תלויים למשוואה הם ${y}_{1}(x)=sin(ln(x)),{y}_{2}(x)=cos(ln(x))$.

מעבר למשוואה עם מקדמים קבועים

עובדה חשובה אודות משוואת אוילר היא שהיא שקולה למשוואה לינארית עם מקדמים קבועים - משוואה מהצורה

$\sum _{i=0}^{n}{{{a}_{i}}\cdot {y}^{(i)}(x)}={a}_{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=0$

השקילות מתבצעת על ידי ההצבה $x=\operatorname {sgn} (x){e}^{t}$. לצורך הפשטות, נניח שלפנינו משוואת אוילר הבאה: ${x}^{2}y''+{a}_{1}xy'+{a}_{0}{y}=0$

אם נגביל את הדיון עבור $x>0$, נשתמש בהצבה $x={e}^{t}$, ומתוכה נקבל $t=ln(x)$. הנגזרות נתונות, לפי כלל השרשרת, על ידי:

$y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dt}}={e}^{-t}{\frac {dy}{dt}}$

$y''={\frac {d}{dx}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dt}}({e}^{-t}{\frac {dy}{dt}}){\frac {dt}{dx}}=(-{e}^{-t}{\frac {dy}{dt}}+{e}^{-t}{\frac {{d}^{2}y}{d{t}^{2}}}){e}^{-t}$

אם נציב חזרה על המשוואה המקורית נקבל: ${\frac {{d}^{2}y}{d{t}^{2}}}+({a}_{1}-1){\frac {dy}{dt}}+{a}_{0}y=0$, אכן משוואה לינארית עם מקדמים קבועים.

שיטת פתרון המשוואה ההומוגנית

משוואת אוילר ההומוגנית שקולה למשוואה לינארית עם מקדמים קבועים. כידוע, הפתרון של משוואה לינארית עם מקדמים קבועים הוא אקספוננט. לכן, גם פתרון המשוואה הנ"ל לפי t הוא אקספוננט: $y(t)={e}^{rt}$. אם נחזור למשתנה x, נקבל: $y(x)={x}^{r}$. לכן, הפתרון של משוואת אוילר נתון על ידי חזקה של x.

לאור עובדה זו, בדרך כלל אין שימוש בפועל בשיטה של מעבר למשוואה לינארית. אלא, מנחשים פתרון מהצורה הנ"ל, ומוצאים את r שיקיים אותו. אם נחזור לדוגמה של משוואה מסדר 2 כלעיל, ננחש פתרון מהצורה הבאה: $y={x}^{r},\quad y'=r{x}^{r-1},\quad y''=r(r-1){x}^{r-2}$.

על ידי הצבה:

${x}^{2}\cdot r(r-1){x}^{r-2}+{a}_{1}x\cdot r{x}^{r-1}+{a}_{0}{x}^{r}=0$

כלומר

${x}^{r}\cdot [r(r-1)+{a}_{1}r+{a}_{0}]=0$.

זה גורר שבהכרח מתאפס הפולינום לפי r: $r(r-1)+{a}_{1}r+{a}_{0}=0$. פולינום זה נקרא המשוואה האינדיציאלית של המד"ר. פתרון המשוואה יביא אל הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית המקורית.

דוגמה

כעת נפתור את המשוואה שהובאה בדוגמה 1 לעיל: ${x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0$.

המשוואה האינדיציאלית היא $r(r-1)+2r-2=(r-1)(r+2)$ ששורשיה הם $r=1,-2$. לכן, הפתרונות הבלתי-תלויים למשוואה הם $y(x)={\frac {1}{{x}^{2}}}$ וגם $y(x)=x$, כנאמר לעיל

סוגי פתרונות אפשריים

השורשים של המשוואה האינדיציאלית יכולים להתחלק לכמה סוגים:

1. שורש ממשי עם ריבוי - לכל שורש $r$ המופיע בריבוי $m$ במשוואה האינדיציאלית, הפתרונות הם: ${x}^{r},{x}^{r}\ln(x),...,{x}^{r}{\ln }^{m-1}x$.
2. שורש מרוכב - אם $a+bi$ הוא שורש, אז גם $a-bi$ הוא שורש, והפתרון עבורם נתון על ידי: ${x}^{a}\cos(b\cdot \ln(x)),\quad {x}^{a}\sin(b\cdot \ln(x))$
3. שורש מרוכב עם ריבוי - אם $a+bi$ הוא שורש מרוכב עם ריבוי m, אזי הפתרונות הם: ${x}^{a}\cos(b\cdot \ln(x)),{x}^{a}\sin(b\cdot \ln(x)),...,{\ln }^{m-1}(x)\cdot {x}^{a}\cos(b\cdot \ln(x)),{ln}^{m-1}(x)\cdot {x}^{a}\sin(b\cdot \ln(x))$

שיטת פתרון המשוואה הלא הומוגנית

כמו בכל משוואה לינארית, גם כאן הפתרון למשוואה הלא הומוגנית הוא פתרון ההומוגנית ועוד פתרון פרטי של הלא הומוגנית. לכן, פתרון בעיה זו מתחלק לשני שלבים: ראשית, יש למצוא את הפתרון למשוואה ההומוגנית, בשיטה שתוארה לעיל. שנית, יש למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית. במציאת פתרון כזה נעסוק כעת.

תהי המשוואה: ${x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)$

ונניח שכבר מצאנו את הפתרון להומוגנית. מה שנכון עבור משוואות דיפרנציאליות לינאריות, נכון אנלוגית גם כאן. בצורה הכללית ביותר, אם

$f(x)={x}^{a}[{c}_{11}+{c}_{12}\ln(x)...+{c}_{1p}{\ln }^{p-1}(x)]\sin(b\cdot \ln(x))+{x}^{a}[{c}_{21}+{c}_{22}\ln(x)...+{c}_{2p}{\ln }^{p-1}(x)]\cos(b\cdot \ln(x))$

ואם $a+bi$ הוא שורש של המשוואה האינדיציאלית מסדר m, אז הפתרונות הם:

${x}^{a}{ln}^{m+k}(x)sin(b\cdot \ln(x)),{x}^{a}{ln}^{m+k}(x)cos(b\cdot ln(x))\quad ,k=1,...,p$