הצגה ליניארית

בתורת החבורות, הצגה ליניארית היא הצגה של חבורה נתונה כחבורת מטריצות (או, באופן כללי יותר, כחבורה של העתקות הפיכות של מרחב הילברט), באמצעות הומומורפיזם מן החבורה לחבורת ההעתקות הליניאריות של מרחב וקטורי מעל שדה כלשהו. את תורת ההצגות, העוסקת בהצגות ליניאריות, פיתח פרדיננד גאורג פרובניוס בסוף המאה ה-19, והיא הפכה להיות ענף מרכזי בתורת החבורות, בעל יישומים רבים במתמטיקה ומחוץ לה.

חבורה שיש לה הצגה נאמנה (כזו שבה ההעתקה מן החבורה אל ההעתקות הליניאריות אינה מאבדת מידע) נקראת חבורה ליניארית.

שקילות של הצגות והצגות אי-פריקות

באופן פורמלי, הצגה היא הומומורפיזם $\ G\rightarrow \operatorname {GL} (V)$, כאשר G היא החבורה הנתונה, V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F, ו- $\ \operatorname {GL} (V)$ היא חבורת ההעתקות הליניאריות ההפיכות של המרחב. כאשר V הוא מרחב מממד סופי n, אפשר לזהות חבורה זו עם חבורת המטריצות ההפיכות $\ \operatorname {GL} _{n}(F)$. במקרה זה n נקרא ממד ההצגה.

מהצגה נתונה אפשר ליצור הצגות שקולות, על ידי הצמדה בהעתקה ליניארית קבועה; דהיינו, אם $\ \pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)$ היא הומומורפיזם ו-A העתקה הפיכה, אז גם הפונקציה $\ g\mapsto A\pi (g)A^{-1}$ היא הצגה, השקולה להצגה המקורית.

אם קיים תת-מרחב $\ W\subset V$ שההצגה פועלת עליו, כלומר $\ \pi (g)(W)\subseteq W$ לכל $\ g\in G$, אז ההצגה פריקה. הצגה שאין לה תת-מרחב כזה היא הצגה אי-פריקה. כל ההצגות האי-פריקות של חבורה אבלית סופית הן חד-ממדיות.

כאשר נתונות שתי הצגות, על מרחבים V ו-W, אפשר ליצור מהן הצגה חדשה, על הסכום הישר $\ V\oplus W$, בדרך של בניית מטריצות בלוקים: $\ g\mapsto \left({\begin{array}{cc}\pi _{1}(g)&0\\0&\pi _{2}(g)\end{array}}\right)$. הצגה כזו, וכל הצגה שקולה לה, נקראת הצגה פרידה. הצגה שלא ניתן להפריד (על ידי הצמדה) באופן כזה, נקראת הצגה אי-פרידה.

הצגה אי-פריקה היא בהכרח אי-פרידה. אם אלגברת החבורה פשוטה למחצה, אז כל הצגה אי-פרידה היא אי-פריקה, וכל הצגה מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות. גם במקרים אחרים אפשר לבנות מן ההצגות האי-פריקות את כל ההצגות של החבורה, אלא שהתהליך מסובך בהרבה.

הקרקטר של הצגה מממד סופי

אם $\ \pi :G\rightarrow \operatorname {GL} _{n}(F)$ היא הצגה ממימד סופי, אז הפונקציה $\ \chi (g)=\operatorname {tr} (\pi (g))$ המוגדרת לפי חישוב העקבה של המטריצות המתקבלות מן ההצגה, היא הקרקטר (character) של ההצגה. העקבה אינה משתנה בהצמדה, ולכן להצגות שקולות יש אותה עקבה. הקרקטר של הצגה חד-ממדית שווה להצגה עצמה.

בחבורה סופית (ובאופן כללי יותר, גם בחבורה קומפקטית), גם ההפך נכון: מן הקרקטר של הצגה, אפשר לשחזר את ההצגה כולה (עד כדי שקילות).

באופן דומה, אם g,h הם שני איברים צמודים בחבורה, דהיינו $\ h=xgx^{-1}$ עבור איבר x מתאים, אז הקרקטר מקבל בשניהם את אותו ערך. מכאן שהקרקטר הוא פונקציה של מחלקות הצמידות בחבורה, ולא רק של החבורה עצמה.

הצגות ואלגברת החבורה

יש התאמה מלאה בין הצגות של חבורה $G$ אל מרחבים וקטוריים מעל לשדה $F$ לבין מודולים מעל אלגברת החבורה $F[G]$, הנתונה על ידי הגדרת הפעולה $g\cdot v=\rho (g)(v)$. לכן יש גם התאמה אל ההצגות של אלגברת החבורה. תחת התאמה זו, הצגות צמודות עוברות אל מודולים איזומורפיים, סכום של העתקות עובר אל סכום ישר של מודולים, וההצגה הרגולרית (השיכון בעזרת חבורת הסימטריה) עוברת אל $F[G]$ כמודול מעל עצמו.

לפי משפט משקה, אם $G$ חבורה סופית שהסדר שלה זר למאפיין $\operatorname {char} (F)$, אז אלגברת החבורה היא פשוטה למחצה, הדבר מבטיח שכל הצגה של $G$ תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.

הצגות של חבורה סופית

כל הצגה של חבורה סופית שקולה להצגה על מרחב מממד סופי. אם G היא חבורה סופית ומתקיים תנאי משפט משקה, ניתן לרשום (לפי משפט ודרברן-ארטין) את חוג החבורה כסכום ישר של אלגברות מטריצות מעל חוגים על חילוק: $F[G]={\overset {t}{\underset {i=1}{\oplus }}}{M_{n_{i}}(D_{i})}$. לכל חוג מהצורה $M_{n_{i}}(D_{i})$ מודול אי פריק יחיד (אך המודולים ברכיבים השונים אינם איזומורפיים). מספר המחוברים $t$ הוא מספר המודולים הפשוטים, והוא גם שווה לממד מרכז החבורה $Z(F[G])$, השווה למספר מחלקות הצמידות של החבורה. את הערכים של הקרקטרים השונים, המחושבים בכל מחלקות הצמידות של החבורה, אפשר לארגן במטריצה ריבועית, הנקראת טבלת הקרקטרים של החבורה.

הממד של כל הצגה אי-פריקה מחלק את סדר החבורה. יתרה מזו, לפי משפט איטו, אם A תת-חבורה אבלית נורמלית, אז הממד של הצגה אי-פריקה מחלק את האינדקס $\ [G:A]$. סכום ריבועי הממדים של ההצגות האי-פריקות שווה לסדר החבורה.