תבנית קילינג – הבדלי גרסאות
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) |
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: אידיאל, \1ליניארי |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
ב[[אלגברה מופשטת]], '''תבנית קילינג''' (נקראת על שם [[וילהלם קילינג]]) היא [[תבנית |
ב[[אלגברה מופשטת]], '''תבנית קילינג''' (נקראת על שם [[וילהלם קילינג]]) היא [[תבנית ביליניארית]] הקשורה ל[[אלגברת לי]] נתונה. תפקידה המרכזי הוא במתן [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיותה של אלגברת לי [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]].{{ש}} |
||
== הגדרה פורמלית == |
== הגדרה פורמלית == |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
* תבנית קילינג אסוציאטיבית, במובן ש-<math>k([x,y],z)=k(x,[y,z])</math>. |
* תבנית קילינג אסוציאטיבית, במובן ש-<math>k([x,y],z)=k(x,[y,z])</math>. |
||
* ה[[תבנית |
* ה[[תבנית ביליניארית|רדיקל]] <math>\operatorname{Rad}(k) = \left\{ x \in L \mid k(x,L)=0 \right\}</math> של תבנית קילינג הוא [[אידיאל (אלגברת לי)|אידיאל]]. |
||
* התבנית נשמרת על ידי [[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של <math>L</math>, כלומר <math>k(g(x),g(y))=k(x,y)</math> לכל אוטומורפיזם <math>g</math> של <math>L</math>. |
* התבנית נשמרת על ידי [[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של <math>L</math>, כלומר <math>k(g(x),g(y))=k(x,y)</math> לכל אוטומורפיזם <math>g</math> של <math>L</math>. |
||
שורה 23: | שורה 23: | ||
בעזרת תבנית קילינג אפשר לנסח [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיותה של [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]]: |
בעזרת תבנית קילינג אפשר לנסח [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיותה של [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]]: |
||
'''משפט:''' תהי אלגברת לי <math>L</math> מעל [[שדה סגור אלגברית]] ובעל [[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס. אז <math>L</math> היא פשוטה למחצה [[אם ורק אם]] תבנית קילינג שלה [[תבנית |
'''משפט:''' תהי אלגברת לי <math>L</math> מעל [[שדה סגור אלגברית]] ובעל [[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס. אז <math>L</math> היא פשוטה למחצה [[אם ורק אם]] תבנית קילינג שלה [[תבנית ביליניארית|רגולרית]], כלומר: הרדיקל שלה אפס <math>\operatorname{Rad}(k)=0</math>. |
||
'''הוכחה:''' נניח ש-<math>L</math> פשוטה למחצה. נוכיח כי <math>\operatorname{Rad}(k)</math> |
'''הוכחה:''' נניח ש-<math>L</math> פשוטה למחצה. נוכיח כי <math>\operatorname{Rad}(k)</math> אידיאל פתיר, ולכן אפס. יהיו <math>x \in \operatorname{Rad}(k) , y \in L</math>, מתקיים <math>\operatorname{Tr}(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)=0</math>. זה נכון בפרט ל-<math>y \in [\operatorname{Rad}(k),\operatorname{Rad}(k)] \subseteq L</math>, ולכן לפי [[קריטריון קרטן]] <math>\operatorname{Rad}(k)</math> פתיר. |
||
''בכיוון ההפוך'', נניח ש-<math>k</math> רגולרית, כלומר <math>\operatorname{Rad}(k)=0</math>. [[תנאי מספיק]] (ובעצם שקול) להיותה של <math>L</math> פשוטה למחצה הוא שכל [[ |
''בכיוון ההפוך'', נניח ש-<math>k</math> רגולרית, כלומר <math>\operatorname{Rad}(k)=0</math>. [[תנאי מספיק]] (ובעצם שקול) להיותה של <math>L</math> פשוטה למחצה הוא שכל [[אידיאל (אלגברת לי)|אידיאל]] אבלי (אידיאל <math>I</math> המקיים <math>[I,I]=0</math>) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה ב[[אלגברת לי פתירה|סדרת הנגזרת]] שלו שיהיה אבלי ולא אפס). |
||
אם כן יהי <math>I</math> |
אם כן יהי <math>I</math> אידיאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו <math>x \in I, y \in L</math>, נביט במיפוי <math>\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y:L \rightarrow I</math>. אזי המיפוי בריבוע הוא <math>{(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)}^{2}:L \rightarrow [I,I]=0</math>, לכן <math>\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y</math> [[איבר נילפוטנטי]], ולכן <math>k(x,y)=Tr(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)=0</math>. כלומר <math>I \subseteq \operatorname{Rad}(k)=0</math>, ולכן הוא אפס. |
||
== דוגמה == |
== דוגמה == |
גרסה מ־10:07, 3 בפברואר 2018
באלגברה מופשטת, תבנית קילינג (נקראת על שם וילהלם קילינג) היא תבנית ביליניארית הקשורה לאלגברת לי נתונה. תפקידה המרכזי הוא במתן תנאי הכרחי ומספיק להיותה של אלגברת לי פשוטה למחצה.
הגדרה פורמלית
תהי אלגברת לי נתונה מעל שדה . תבנית קילינג של היא התבנית
כאשר הוא ההצגה הצמודה ו- היא העקבה.
תכונות בסיסיות
- תבנית קילינג היא סימטרית.
- תבנית קילינג אסוציאטיבית, במובן ש-.
- התבנית נשמרת על ידי אוטומורפיזמים של , כלומר לכל אוטומורפיזם של .
הקשר לאלגברות לי פשוטות למחצה
בעזרת תבנית קילינג אפשר לנסח תנאי הכרחי ומספיק להיותה של אלגברת לי פשוטה למחצה:
משפט: תהי אלגברת לי מעל שדה סגור אלגברית ובעל מאפיין אפס. אז היא פשוטה למחצה אם ורק אם תבנית קילינג שלה רגולרית, כלומר: הרדיקל שלה אפס .
הוכחה: נניח ש- פשוטה למחצה. נוכיח כי אידיאל פתיר, ולכן אפס. יהיו , מתקיים . זה נכון בפרט ל-, ולכן לפי קריטריון קרטן פתיר.
בכיוון ההפוך, נניח ש- רגולרית, כלומר . תנאי מספיק (ובעצם שקול) להיותה של פשוטה למחצה הוא שכל אידיאל אבלי (אידיאל המקיים ) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה בסדרת הנגזרת שלו שיהיה אבלי ולא אפס).
אם כן יהי אידיאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו , נביט במיפוי . אזי המיפוי בריבוע הוא , לכן איבר נילפוטנטי, ולכן . כלומר , ולכן הוא אפס.
דוגמה
כאמור תבנית קילינג מהווה קריטריון להיות של אלגברת לי פשוטה למחצה. בעזרתה אפשר להוכיח כי האלגברה פשוטה למחצה.
אכן, לפי הבסיס הסטנדרטי , המטריצה המייצגת היא שהיא מטריצה הפיכה (במאפיין שאיננו 2).
זוהי למעשה דוגמה לאלגברת לי פשוטה למחצה מממד 3, הנמוך ביותר האפשרי (כל אלגברת לי ממד 1 או 2 אינה פשוטה למחצה).