מעגל תשע הנקודות – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־23:04, 19 בפברואר 2018

בגאומטריה, מעגל תשע הנקודות (נקרא גם "מעגל אוילר" או "מעגל פיירבך") הוא מעגל העובר במשולש כלשהו דרך תשע הנקודות הבאות:

אמצעי הצלעות
עקבי הגבהים, כלומר הנקודות שבהן הגבהים נפגשים עם הצלעות
אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים.

בשנת 1765 גילה לאונרד אוילר שתשע הנקודות הללו נמצאות על מעגל אחד. ב-1822 גילה קרל וילהלם פיירבך, שניתן להעביר מעגל דרך אמצעי הצלעות ועקבי הגבהים, והראה שהמעגל הזה משיק לארבעת המעגלים המשיקים למשולש. זמן קצר לאחר מכן גילה אולרי טרקם שהמעגל עובר גם דרך אמצעי הקטעים שבין הקודקודים למפגש הגבהים, והוכיח את קיומו של המעגל.

בחלק מהמשולשים מצטמצם מספר הנקודות, עקב התלכדותן של שתי נקודות לאחת: במשולש שווה-שוקיים ישנן שמונה נקודות (משום שבאחת הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש שווה-צלעות - שש (משום שבכל הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש ישר-זווית - חמש ובמשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ("משולש כסף") - ארבע.

במשולש שווה-צלעות, מעגל תשע הנקודות מתלכד עם המעגל החסום במשולש.

תכונות

המרכז של מעגל תשע הנקודות נמצא על ישר אוילר, והוא נמצא באמצע בין O (מרכז המעגל החוסם) ל-H (מפגש הגבהים)
אורכו של רדיוס מעגל תשע הנקודות שווה לחצי מרדיוס המעגל החוסם את המשולש.
המעגל משיק לארבעת המעגלים המשיקים למשולש (המעגל החסום ושלושת המעגלים המשיקים לצלעות מבחוץ).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מעגל תשע הנקודות בוויקישיתוף

מעגל תשע הנקודות, באתר MathWorld (באנגלית)

@@ שורה 12: / שורה 12: @@
 ==תכונות==
-[[תמונה:Circ9pnt3.svg|שמאל|ממוזער|250px|מעגל פיירבך (בוורוד) משיק לארבעת המעגלים המשיקים למשולש]]
 * ה[[מרכז (גאומטריה)|מרכז]] של מעגל תשע הנקודות נמצא על [[ישר אוילר]], והוא נמצא באמצע בין O (מרכז המעגל החוסם) ל-H (מפגש הגבהים)
 * אורכו של [[רדיוס]] מעגל תשע הנקודות שווה לחצי מרדיוס המעגל החוסם את המשולש.
-*המעגל [[משיק]] לארבעת המעגלים המשיקים למשולש (ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] ושלושת המעגלים המשיקים לצלעות מבחוץ). תכונה זו מודגמת באיור משמאל.
+*המעגל [[משיק]] לארבעת המעגלים המשיקים למשולש (ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] ושלושת המעגלים המשיקים לצלעות מבחוץ).
 ==קישורים חיצוניים==