קירוב ליניארי

הקו המשיק

קירוב לינארי או קירוב מסדר ראשון הוא מושג במתמטיקה המתאר קירוב של פונקציה מתמטית כלשהי באמצעות פונקציה ליניארית (ליתר דיוק, פונקציה אפינית). לקירובים ליניארים יש שימוש נרחב במדעים ובמתמטיקה כדי לקבל קירוב לערך הפונקציה בסביבה של ערך קבוע מראש. היות שפונקציות ליניאריות הן קלות לחישוב ולפתרון, קירובים ליניארים מועדפים כמעט תמיד בניתוחים אנליטיים ונומריים אם הם מספקים את הדיוק הנדרש.

כאשר לפונקציה קיים קירוב לינארי, נאמר שהפונקציה דיפרנציאבילית.

הגדרה

בהינתן פונקציה $\ f$ על מרחב הממשיים שהיא רציפה וגזירה ושנגזרתה רציפה גם היא בסביבה של $\ a$, מתקבל מטור טיילור עבור $\ n=1$ כי:

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}\$$

כאשר $\ R_{2}$ הוא איבר השארית המייצג את סכום האיברים מסדר גבוה יותר. קירוב לינארי, או קירוב מסדר ראשון, מתקבל על ידי השמטת השארית, כך שמתקבלת הנוסחה:

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$$

ככל ש-$\ x$ יהא קרוב יותר ל-$\ a$ כך שגיאת הקירוב תהא קטנה יותר שכן האיברים של החזקות הגבוהות יותר של $\ x-a$ ישאפו מהר יותר לאפס ויהיו זניחים ביחס לאיבר הליניארי ב-$\ x-a$ והאיבר הקבוע.

למעשה הנוסחה שלעיל היא בדיוק משוואת המשיק לגרף של הפונקציה $\ f$ בנקודה $\ (a,f(a))$.

ניתן לבצע קירוב לינארי לפונקציות וקטוריות דיפרנציאביליות באופן דומה. לדוגמה, בהינתן פונקציה דיפרנציאבילית $\ f(x,y)$ על המספרים הממשיים, הקירוב הליניארי של $\ f(x,y)$ עבור $\ (x,y)$ קרובים ל-$\ (a,b)$ נתון על ידי הנוסחה:

$$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$$

דוגמה

ניתן לחשב קירוב לערך ${\sqrt[{3}]{25}}$ על ידי קירוב לינארי של הפונקציה $f(x)=x^{1/3}\,$, כלומר לחשב את הקירוב על ידי חישוב הערך $\ f(25)$.

1. ראשית עלינו למצוא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה:

   $f'(x)={\frac {x^{-2/3}}{3}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}$

2. ואז לפי משוואת הקירוב הליניארי:

   $f(25)\approx f(27)+f'(27)(25-27)=3-2/27.$

התוצאה המתקבלת, 2.926, קרובה למדי לערך האמיתי של המספר: 2.924. שגיאת הקירוב המוחלטת היא 0.002, ושגיאת הקירוב היחסית היא 0.0684%.

יישומים

• שיטת ניוטון-רפסון

ראו גם

• קירוב
• טור טיילור
• שגיאת קירוב