הפרדת משתנים

הפרדת משתנים היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות. בשיטה זו מבודדים באגף אחד את כל האיברים התלויים במשתנה וכך מקבלים משוואה קלה יותר לפתרון. לא כל משוואה דיפרנציאלית ניתן לפתור בעזרת הפרדת משתנים, אך משוואות פיזיקליות חשובות רבות (לדוגמה משוואת שרדינגר, משוואת הגלים, משוואת דיפוזיה ועוד), ניתנות לפתרון בדרך זו.

דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים

במשוואה דיפרציאלית רגילה

נתבונן במשוואה הבאה

${\frac {dy}{dx}}=y(1-y)$.

ניתן להעביר אגפים ולכתוב אותה כך:

${\frac {dy}{y(1-y)}}=dx$.

כאן ביצענו הפרדת משתנים - אגף ימין תלוי במשתנה x ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה y. השיוויון ישמר אם נבצע אינטגרציה של אגף ימין לפי x ושל אגף שמאל לפי y.

$\int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx$

חישוב האינטגרל נותן

$\ \ln |y|-\ln |1-y|=x+C$

כאשר C קבוע אינטגרציה. מכאן ניתן לחלץ את y ולקבל כי פתרון המשוואה הוא:

$y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}.$.

במשוואה דיפרנציאלית חלקית

נתבונן במשוואת הגלים

$\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)$

נחפש פתרון מן הצורה $\ \psi (x,t)=\phi (x)\chi (t)$ נציב זאת למשוואה ונקבל:

$\phi ''(x)\chi (t)={\frac {1}{v^{2}}}\phi (x)\chi ''(t)$

נחלק ב $\ \psi (x,t)=\phi (x)\chi (t)$ ונקבל

${\frac {\phi ''(x)}{\phi (x)}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\chi ''(t)}{\chi (t)}}$

במשוואה שקיבלנו, אגף ימין תלוי במשתנה t בלבד, ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה x בלבד (כאן הגענו להפרדת משתנים). כיוון שהשיוויון צריך להתקיים לכל x ו-t כל אגף חייב להיות שווה לקבוע שנסמנו ב-$\,\lambda$. קיבלנו במקום המשוואה הדיפרנציאלית החלקית ממנה התחלנו, שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות:

${\frac {\phi ''(x)}{\phi (x)}}=\lambda$

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\chi ''(t)}{\chi (t)}}=\lambda$

שאותן קל יותר לפתור (בדוגמה זו מדובר במשוואות אוסצילטור הרמוני שפתרונן ידוע).