באנליזה מרוכבת , משפט האינטגרל של קושי-גורסה (ע"ש אוגוסטין קושי ואדוארד גורסה ) הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב אינטגרל קווי של פונקציות מרוכבות הולומורפיות . בבסיסו, המשפט אומר שלאורך מסלול סגור והומולוגי לאפס (כגון השפה של תחום פשוט קשר ), האינטגרל של כל פונקציה שהיא הולומורפית בתחום שהמסלול סוגר ורציפה על השפה, שווה לאפס. הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה הולומורפית.
למשפט זה תוצאות חשובות רבות, כגון נוסחת האינטגרל של קושי , משפט ליוביל , המשפט היסודי של האלגברה , משפט השארית ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות - כלומר, ניתן לפתח אותן לטור טיילור .
ניסוח פורמלי יהא
U
⊂
C
{\displaystyle \ U\subset \mathbb {C} }
תחום קושי כך שהשפה
∂
U
{\displaystyle \ \partial U}
f
(
z
)
:
U
¯
→
C
{\displaystyle \ f(z):{\bar {U}}\rightarrow \mathbb {C} }
∂
U
{\displaystyle \ \partial U}
U
{\displaystyle \ U}
∮
∂
U
f
(
z
)
d
z
=
0
{\displaystyle \oint _{\partial U}f(z)\,dz=0}
המשפט נובע מן הגרסה החלשה הבאה שלו: תהי
f
{\displaystyle \ f}
D
{\displaystyle \ D}
Δ
{\displaystyle \ \Delta }
D
{\displaystyle \ D}
∮
∂
Δ
f
(
z
)
d
z
=
0
{\displaystyle \ \oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz=0}
הוכחה תחילה, נניח
|
∮
∂
Δ
f
(
z
)
d
z
|
=
S
>
0
{\displaystyle \ \left|\oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz\right|=S>0}
∮
∂
Δ
f
(
z
)
d
z
=
∑
k
=
1
4
∮
∂
Δ
k
(
1
)
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \ \oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{4}\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz}
|
∮
∂
Δ
f
(
z
)
d
z
|
≤
∑
k
=
1
4
|
∮
∂
Δ
k
(
1
)
f
(
z
)
d
z
|
{\displaystyle \ \left|\oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz\right|\leq \sum _{k=1}^{4}\left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|}
S
≤
∑
k
=
1
4
|
∮
∂
Δ
k
(
1
)
f
(
z
)
d
z
|
{\displaystyle \ S\leq \sum _{k=1}^{4}\left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|}
1
≤
k
0
≤
4
{\displaystyle \ 1\leq k_{0}\leq 4}
|
∮
∂
Δ
k
(
1
)
f
(
z
)
d
z
|
≥
S
4
{\displaystyle \ \left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|\geq {\frac {S}{4}}}
נסמן
Δ
k
0
(
1
)
=
Δ
1
{\displaystyle \ \Delta _{k_{0}}^{(1)}=\Delta _{1}}
Δ
0
⊃
Δ
1
⊃
Δ
2
⊃
.
.
.
⊃
Δ
n
{\displaystyle \ \Delta _{0}\supset \Delta _{1}\supset \Delta _{2}\supset ...\supset \Delta _{n}}
|
∮
∂
Δ
n
f
(
z
)
d
z
|
≥
S
4
n
{\displaystyle \ \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|\geq {\frac {S}{4^{n}}}}
הלמה של קנטור ,
⋂
n
=
0
∞
Δ
n
=
{
z
0
}
{\displaystyle \ \bigcap _{n=0}^{\infty }\Delta _{n}=\left\{z_{0}\right\}}
f
{\displaystyle \ f}
z
0
{\displaystyle \ z_{0}}
f
(
z
)
=
f
(
z
0
)
+
f
′
(
z
0
)
(
z
−
z
0
)
+
ε
(
z
)
(
z
−
z
0
)
{\displaystyle \ f(z)=f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+\varepsilon (z)(z-z_{0})}
lim
z
→
z
0
ε
(
z
)
=
0
{\displaystyle \ \lim _{z\rightarrow z_{0}}\varepsilon (z)=0}
l
(
Δ
0
)
=
l
,
l
(
Δ
1
)
=
l
2
,
.
.
.
l
(
Δ
n
)
=
l
2
n
{\displaystyle \ l(\Delta _{0})=l\ ,\ l(\Delta _{1})={\frac {l}{2}}\ ,\ ...\ l(\Delta _{n})={\frac {l}{2^{n}}}}
z
∈
∂
Δ
n
{\displaystyle \ z\in \partial \Delta _{n}}
|
z
−
z
0
|
<
l
(
Δ
n
)
=
l
2
n
{\displaystyle \ \left|z-z_{0}\right|<l(\Delta _{n})={\frac {l}{2^{n}}}}
S
4
n
≤
|
∮
∂
Δ
n
f
(
z
)
d
z
|
=
|
∮
∂
Δ
n
[
f
(
z
0
)
+
f
′
(
z
0
)
(
z
−
z
0
)
+
ε
(
z
)
(
z
−
z
0
)
]
d
z
|
=
(
∗
)
{\displaystyle \ {\frac {S}{4^{n}}}\leq \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|=\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}{\big [}f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+\varepsilon (z)(z-z_{0}){\big ]}\,dz\right|=(*)}
עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים:
(
z
f
(
z
0
)
)
′
=
f
(
z
0
)
,
(
f
′
(
z
0
)
(
z
−
z
0
)
2
2
)
′
=
f
′
(
z
0
)
(
z
−
z
0
)
{\displaystyle \ \ (zf(z_{0}))'=f(z_{0})\ ,\ \left({\frac {f'(z_{0})(z-z_{0})^{2}}{2}}\right)'=f'(z_{0})(z-z_{0})\ }
C
{\displaystyle \ \mathbb {C} }
D
{\displaystyle \ D}
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי . לכן גם
(
∗
)
=
|
∮
∂
Δ
n
ε
(
z
)
(
z
−
z
0
)
d
z
|
{\displaystyle \ (*)=\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}\varepsilon (z)(z-z_{0})\,dz\right|}
לפי הגדרת האינטגרל, אם
γ
{\displaystyle \ \gamma }
f
{\displaystyle \ f}
γ
{\displaystyle \ \gamma }
|
∮
γ
f
(
z
)
d
z
|
≤
M
⋅
l
(
γ
)
{\displaystyle \ \left|\oint _{\gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\cdot l(\gamma )}
M
=
m
a
x
|
f
(
z
)
|
{\displaystyle \ M=max\left|f(z)\right|}
γ
{\displaystyle \ \gamma }
l
(
γ
)
{\displaystyle \ l(\gamma )}
γ
{\displaystyle \ \gamma }
|
∮
∂
Δ
n
ε
(
z
)
(
z
−
z
0
)
d
z
|
≤
m
a
x
|
ε
(
z
)
|
⋅
l
2
n
⋅
l
(
Δ
n
)
=
m
a
x
|
ε
(
z
)
|
⋅
l
2
4
n
{\displaystyle \ \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}\varepsilon (z)(z-z_{0})\,dz\right|\leq max\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l}{2^{n}}}\cdot l(\Delta _{n})=max\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l^{2}}{4^{n}}}}
S
4
n
≤
m
a
x
∂
Δ
n
|
ε
(
z
)
|
⋅
l
2
4
n
{\displaystyle \ {\frac {S}{4^{n}}}\leq max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l^{2}}{4^{n}}}}
S
≤
m
a
x
∂
Δ
n
|
ε
(
z
)
|
⋅
l
2
{\displaystyle \ S\leq \ max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot l^{2}}
lim
n
→
∞
(
m
a
x
∂
Δ
n
|
ε
(
z
)
|
⋅
l
2
)
=
0
{\displaystyle \ \lim _{n\rightarrow \infty }\left(max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot l^{2}\right)=0}
S
=
0
{\displaystyle \ S=0}
∮
T
f
(
z
)
d
z
=
0
{\displaystyle \ \oint _{T}f(z)\,dz=0}
קישורים חיצוניים 
![{\displaystyle \ {\frac {S}{4^{n}}}\leq \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|=\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}{\big [}f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+\varepsilon (z)(z-z_{0}){\big ]}\,dz\right|=(*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881966bae05068c485437893b99ab6801b960458)
