מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
שורה 29:
שורה 29:
{{טופולוגיה}}
{{טופולוגיה}}
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
[[קטגוריה:טופולוגיה]]
[[קטגוריה:טופולוגיה]]
גרסה מ־11:07, 4 בספטמבר 2018
בטופולוגיה , סְגוֹר של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.
הגדרה פורמלית
יהא
X
{\displaystyle \!\,X}
מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא
S
⊆
X
{\displaystyle \!\,S\subseteq X}
קבוצה. אם
Λ
{\displaystyle \!\,\Lambda }
היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות
S
⊆
A
⊆
X
{\displaystyle \!\,S\subseteq A\subseteq X}
, אז הסגור של
S
{\displaystyle \!\,S}
יסומן
Cl
(
S
)
{\displaystyle \!\,{\mbox{Cl}}(S)}
או
S
¯
{\displaystyle \!\,{\bar {S}}}
, ויוגדר על ידי:
S
¯
=
Cl
(
S
)
=
⋂
A
∈
Λ
A
{\displaystyle \!\,{\overline {S}}={\mbox{Cl}}(S)=\bigcap _{A\in \Lambda }A}
.
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
Cl
(
S
)
{\displaystyle \!\,{\mbox{Cl}}(S)}
היא קבוצת כל האיברים של
X
{\displaystyle \!\,X}
שבכל סביבה שלהם קיים איבר של
S
{\displaystyle \!\,S}
(לא בהכרח שונה מהם).
Cl
(
S
)
=
S
∪
S
′
{\displaystyle \!\,{\mbox{Cl}}(S)=S\cup S'}
, כאשר
S
′
{\displaystyle \!\,S'}
היא הקבוצה הנגזרת של
S
{\displaystyle \!\,S}
.
הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה:
Cl
(
A
)
=
(
Int
(
A
C
)
)
C
{\displaystyle \!\,{\mbox{Cl}}(A)=\left({\mbox{Int}}(A^{C})\right)^{C}}
.
דוגמאות
הסגור של הקטע הפתוח
(
a
,
b
)
{\displaystyle \ (a,b)}
הוא הקטע הסגור
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
.
הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
הוא הישר הממשי כולו
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
תכונות הנוגעות לסגור
כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה:
A
=
Cl
(
A
)
{\displaystyle \!\,A={\mbox{Cl}}(A)}
. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן
Cl
(
A
)
=
Cl
(
Cl
(
A
)
)
{\displaystyle \!\,{\mbox{Cl}}(A)={\mbox{Cl}}\left({\mbox{Cl}}(A)\right)}
.
A
⊆
B
⇒
Cl
(
A
)
⊆
Cl
(
B
)
{\displaystyle \!\,A\subseteq B\Rightarrow {\mbox{Cl}}(A)\subseteq {\mbox{Cl}}(B)}
.
Cl
(
A
∩
B
)
⊆
Cl
(
A
)
∩
Cl
(
B
)
{\displaystyle \!\,{\mbox{Cl}}\left(A\cap B\right)\subseteq {\mbox{Cl}}(A)\cap {\mbox{Cl}}(B)}
.
Cl
(
A
∪
B
)
=
Cl
(
A
)
∪
Cl
(
B
)
{\displaystyle \!\,{\mbox{Cl}}\left(A\cup B\right)={\mbox{Cl}}(A)\cup {\mbox{Cl}}(B)}
.
f
{\displaystyle \!\,f}
היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל
A
{\displaystyle \!\,A}
בתחום שלה מתקיים
f
(
Cl
(
A
)
)
⊆
Cl
(
f
(
A
)
)
{\displaystyle \!\,f\left({\mbox{Cl}}(A)\right)\subseteq {\mbox{Cl}}\left(f(A)\right)}
. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
אם
A
{\displaystyle \!\,A}
קבוצה קשירה , לכל
A
⊆
B
⊆
Cl
(
A
)
{\displaystyle \!\,A\subseteq B\subseteq {\mbox{Cl}}(A)}
מתקיים שגם
B
{\displaystyle \!\,B}
קבוצה קשירה.
קבוצה
A
{\displaystyle \!\,A}
במרחב
X
{\displaystyle \!\,X}
המקיימת
Cl
(
A
)
=
X
{\displaystyle \!\,{\mbox{Cl}}(A)=X}
נקראת קבוצה צפופה .
קבוצה
A
{\displaystyle \!\,A}
במרחב
X
{\displaystyle \!\,X}
המקיימת
Int
(
Cl
(
A
)
)
=
∅
{\displaystyle \!\,{\mbox{Int}}\left({\mbox{Cl}}(A)\right)=\emptyset }
נקראת קבוצה דלילה .
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים .
קישורים חיצוניים