נקודת פיתול

במתמטיקה ובעיקר באנליזה מתמטית, נקודת פיתול של פונקציה היא נקודה שבה הפונקציה הופכת מקמורה לקעורה, או להפך.

משפט: אם $\ x_{0}$ נקודת פיתול של הפונקציה $\ f$ אזי מתקיים אחד משני המשפטים הבאים:

• $\ f$ אינה גזירה פעמיים ב-$\ x_{0}$.
• $\ f''(x_{0})=0$.

מכאן, שאם בנקודה כלשהי הנגזרת השנייה של פונקציה היא 0, היא "חשודה" כנקודת פיתול. ניתן לבדוק האם הפונקציה עוברת מקמירות לקעירות בצורה ישירה על-ידי בדיקת הסימן של הנגזרת השנייה משני צידי הנקודה, (החלפת הסימן גוררת שזוהי נקודת פיתול) או להמשיך לגזור את הפונקציה עד שמגיעים לנגזרת הראשונה שערכה בנקודה אינו אפס. אם זוהי נגזרת מסדר לא זוגי, הרי שהנקודה היא נקודת פיתול, ואם היא מסדר זוגי, הנקודה אינה נקודת פיתול.

דוגמאות

נביט בפונקציה $\ f(x)=x^{3}$. נגזרותיה הן:

$\ f'(x)=3x^{2},f''(x)=6x,f'''(x)=6$.

מתקיים $\ f''(0)=0$ , ומאחר שהפונקציה גזירה פעמיים בישר הממשי כולו, נקודת הקיצון האפשרית היחידה של הפונקציה היא בנקודה זו. כמו כן מתקיים $\ f'''(0)=6$,והנגזרת השלישית היא הנגזרת הראשונה שערכה בנקודה שונה מאפס. כיוון שנגזרת מסדר אי זוגי, הנקודה היא אכן נקודת פיתול.

לעומת זאת, נביט כעת בפונקציה $\ f(x)=x^{4}$ שנגזרותיה הן:

$\ f'(x)=4x^{3},f''(x)=12x^{2},f'''(x)=24x,f''''(x)=24$.

במקרה זה, הנגזרת הראשונה שערכה בנקודה $\ x=0$ שונה מאפס היא הרביעית, ולכן, הנקודה 0 אינה נקודת פיתול.

הערה: ייתכן שהנגזרת הראשונה של פונקציה תהיה 0, אך הנקודה לא תהיה נקודת קיצון, ואף לא נקודת פיתול. לדוגמה, הפונקציה

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}\sin({\frac {1}{x}})&{\mbox{if }}x\neq 0\\0&{\mbox{if }}x=0\end{matrix}}\right.$

רציפה וגזירה באפס, ונגזרתה שם היא אפס, אולם אפס אינה נקודת קיצון, ולא נקודת פיתול (הסבר מפורט מופיע בערך נגזרת).