פונקציה קעורה

דוגמה לגרף של פונקציה קעורה: כל הקטעים המחברים בין שתי נקודות בגרף נמצאים מתחתיו.

במתמטיקה, פונקציה קעורה בקטע מסוים היא פונקציה אשר עבור כל שתי נקודות באותו הקטע, הישר המחבר בין שתי הנקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה.

אף על פי שעל פי ההגדרה הלשונית של המילים "קמור" ו"קעור", העקום המתקבל הוא קמור מלמעלה, בהגדרה המתמטית העקום נבחן מלמטה ולכן הוא מכונה פונקציה קעורה.

הגדרה

הגדרה: תהא $\ f(x)$ פונקציה המוגדרת בקטע $\left[a,b\right]$. הפונקציה תקרא קעורה בקטע אם עבור כל $\!\,x,y\in [a,b]$ וכל $\!\,0\leq \lambda \leq 1$ מתקיים אי השוויון $\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\leq f(\lambda x+(1-\lambda )y)$.

בפשטות, הגדרה זו מציינת כי לכל פונקציה $f(x),\{\;x\;|\;x\in R\;\}$, כל נקודה על הקטע שבה $x\in [a,b]$ תהיה מעל או על הישר המחבר את הנקודות $(a,f(a))$ ו- $(b,f(b))$.

אם הפונקציה היא עקומה, אז הנקודה תהיה מעל הישר במקרה ש- $x\in (a,b)$ ותהיה על הישר במקרה ש- $x=a,b$. אם הפונקציה היא קו ישר, אז הנקודה תמיד תהיה על הישר.

הגדרה שקולה: $\ f(x)$ היא קעורה אם $\ -f(x)$ היא קמורה.

אם $\,f$ גזירה בקטע פתוח, אזי $\,f$ קעורה בו אם ורק אם הנגזרת $\,f'$ היא פונקציה מונוטונית יורדת.

אם הפונקציה גזירה פעמיים בקטע, ניתן לזהות קעירות באמצעות הנגזרת השנייה שלה: אם הנגזרת השנייה שלילית בכל הקטע, הפונקציה קעורה בו.

תנאי מספיק נוסף לקעירות פונקציה מבוטא בעזרת ההיפוגרף שלה: פונקציה היא קעורה אם ההיפוגרף שלה הוא קבוצה קמורה.

פונקציות ליניאריות

פונקציה ליניארית נחשבת קעורה וקמורה בעת ובעונה אחת, בגלל אי־השוויון החלש ($\leq$ ו־$\geq$). פיתוח של הגדרת הקמירות או הקעירות, כאשר הפונקציה המדוברת היא ליניארית, מוביל לשוויון ממש בין שני האגפים.

ראו גם

• פונקציה קמורה