בסיס (טופולוגיה)

בסיס לטופולוגיה הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שמאיחודיהן אפשר לקבל את כל הקבוצות הפתוחות השייכות לטופולוגיה.

הגדרה פורמלית

יהי $\ (X,\tau )$ מרחב טופולוגי.

אוסף קבוצות $\mathbb {B} \subset \tau$ יקרא בסיס לטופולוגיה אם כל קבוצה בטופולוגיה ניתנת להצגה כאיחוד של איברי B. זה שקול לכך ש

$\ \forall x\in X,V\in \tau \ :\ x\in V\Rightarrow \exists B\in \mathbb {B} :x\in B\subset V$

בסיס כזה נקרא לעיתים גם מערכת סביבות פונדמנטלית.

מושגים הקשורים בבסיס

• בסיס מקומי (לוקלי): זהו בסיס לטופולוגיה סביב נקודה מסוימת במרחב X. באופן פורמלי, אוסף $\mathbb {B} _{x}\subset \tau$ יקרא "בסיס לטופולוגיה בנקודה ב x" אם: $\ \forall V\in \tau ,x\in V\ :\ \exists B\in \mathbb {B} _{x}:x\in B\subset V$
• נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המניה הראשונה (או בקיצור: X ממנייה I) אם לכל נקודה ב-X קיים בסיס מקומי בן מניה.
• משקל: משקל של מרחב טופולוגי, $\ w(X)$ מוגדר להיות העוצמה הקטנה ביותר של בסיס (כלשהו) לטופולוגיה.
• נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המניה השניה (או בקיצור: X ממנייה II או מקיים מנייה II) אם המשקל שלו קטן או שווה לאלף 0 (כלומר: קיים בסיס לטופולוגיה ב X שהוא בן מניה).
• אוסף של קבוצות חלקיות ל X , $\mathbb {S} \subset \tau$יקרא תת-בסיס אם אוסף כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מ S מהווה בסיס. אוסף S יקרא תת-בסיס של B אם אם כל איבר בבסיס B ניתן להצגה כחיתוך סופי של קבוצות מהתת-בסיס. כלומר: $\forall B\in \mathbb {B} :\exists n\in \mathbb {N} ,\ S_{1}\cdots S_{n}\in \mathbb {S} \ :\ B=S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}$ .

אפיון בסיס ותת-בסיס

המשפט הבא נותן קריטריון פשוט לאפיון וזיהוי בסיס.

משפט: נניח ש X מרחב לא ריק. אזי אוסף $\mathbb {B}$ של קבוצות חלקיות ל X יקרא בסיס אם ורק אם הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:

1. לכל $\ x\in X$ קיימת קבוצה ב B המכילה אותו. במילים אחרות: $\ \bigcup {\mathbb {B} }\equiv \bigcup _{B\in \mathbb {B} }{B}=X$. כלומר: הבסיס מכסה את X.
2. לכל $\ B_{1},B_{2}\in \mathbb {B}$ שאינן זרות ולכל $\ x\in B_{1}\cap B_{2}$ קיימת $\ B_{3}\in \mathbb {B}$ כך ש $\ x\in B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}$.

אם שתי תכונות אלה מתקיימות, האוסף $\ \tau =\{{\mbox{All unions of sets from }}\mathbb {B} \}$ הוא טופולוגיה על X.

המשפט הבא מאפיין תתי-בסיס.

משפט: אוסף של תתי-קבוצות של X הוא תת-בסיס אם ורק אם הוא מכסה את X (כלומר: איחוד כל הקבוצות באוסף שווה ל X).

דוגמאות

• במרחב מטרי, אוסף כל הכדורים הפתוחים הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי המטריקה.
• מעל הישר הממשי, הקבוצה $\ \mathbb {B} =\{(a,\infty )|a\in \mathbb {R} \}$ היא בסיס. הטופולוגיה שהוא משרה בעצם שווה לבסיס עצמו!
• במרחב $\mathbb {R}$ עם הטופולוגיה המטרית (המטריקה היא הערך המוחלט) הקבוצה $\ \mathbb {S} =\{(a,\infty ),(-\infty ,b)|a,b\in \mathbb {R} \}$ היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
• הישר העשיר מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.