בסיס (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־19:27, 15 בינואר 2007

בטופולוגיה, בסיס ותת-בסיס הן דרכים חסכוניות לתאור המבנה של מרחב טופולוגי. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בדרך של איחוד, ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות האיחוד והחיתוך.

הגדרה

בסיס

בסיס של מרחב טופולוגי $\ (X,\tau )$ הוא אוסף $\ B$ של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של אברים מן הבסיס; במלים אחרות, $\ \tau =\{\cup _{b\in I}b|I\subseteq B\}$ . מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף B של קבוצות פתוחות, כך שלכל $\ x\in X$ ולכל קבוצה פתוחה $\ x\in U$ , קיימת קבוצה $\ b\in B$ בבסיס, כך ש- $\ x\in b\subseteq U$ .

בסיס נקרא גם מערכת סביבות יסודית.

אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (לאיזושהי טופולוגיה) אם X מכוסה על-ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות $\ b_{1},b_{2}\in B$ ונקודה בחיתוך $\ x\in b_{1}\cap b_{2}$ , קיימת קבוצה $\ b_{3}\in B$ בבסיס, כך ש- $\ x\in b_{3}\subset b_{1}\cap b_{2}$ . אם מתקיימות שתי תכונות אלה, אז אוסף האיחודים של קבוצות מן הבסיס מהווה טופולוגיה על X.

תת-בסיס

תת-בסיס של מרחב טופולוגי $\ (X,\tau )$ הוא אוסף $\ S$ של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ- S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן איחודים של חיתוכים סופיים של קבוצות מ- S.

מושגים קרובים

מרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המנייה השניה, אם יש לו בסיס בן מניה.
בסיס מקומי: אוסף B של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי היא "בסיס מקומי" סביב הנקודה x, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את x מכילה איבר של B המכיל את x.
אקסיומת המנייה הראשונה היא התכונה שיש במרחב, סביב כל נקודה, בסיס מקומי בן מניה.

דוגמאות

במרחב מטרי, אוסף כל הכדורים הפתוחים הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי המטריקה.
בהישר הממשי, הקבוצה $\ \mathbb {B} =\{(a,\infty )|a\in \mathbb {R} \}$ היא בסיס. הטופולוגיה שהוא משרה בעצם שווה לבסיס עצמו!
במרחב $\mathbb {R}$ עם הטופולוגיה המטרית (המטריקה היא הערך המוחלט) הקבוצה $\ \mathbb {S} =\{(a,\infty ),(-\infty ,b)|a,b\in \mathbb {R} \}$ היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
הישר העשיר מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.

תבנית:נ

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+ב[[טופולוגיה]], '''בסיס''' ו'''תת-בסיס''' הן דרכים חסכוניות לתאור המבנה של [[מרחב טופולוגי]]. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את ה[[קבוצה פתוחה|קבוצות הפתוחות]] בדרך של [[איחוד]], ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות ה[[איחוד]] וה[[חיתוך]].
-'''בסיס לטופולוגיה''' הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שמאיחודיהן אפשר לקבל את כל הקבוצות הפתוחות השייכות ל[[מרחב טופולוגי|טופולוגיה]].
-== הגדרה פורמלית ==
+== הגדרה ==
+=== בסיס ===
-יהי <math>\ ( X , \tau )</math> [[מרחב טופולוגי]].
+'''בסיס''' של [[מרחב טופולוגי]] <math>\ ( X,\tau )</math> הוא אוסף <math>\ B</math> של [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]], כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של אברים מן הבסיס; במלים אחרות, <math>\ \tau=\{\cup_{b \in I}b | I \subseteq B\}</math>. מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף B של קבוצות פתוחות, כך שלכל <math>\ x\in X</math> ולכל קבוצה פתוחה <math>\ x\in U</math>, קיימת קבוצה <math>\ b\in B</math> בבסיס, כך ש- <math>\ x\in b\subseteq U</math>.
-אוסף קבוצות <math>\mathbb{B} \subset \tau</math> יקרא '''בסיס לטופולוגיה''' אם כל קבוצה בטופולוגיה ניתנת להצגה כאיחוד של איברי B. זה שקול לכך ש
-: <math>\ \forall x \in X , V \in \tau \ : \ x \in V \Rightarrow \exist B \in \mathbb{B} : x \in B \subset V</math>
-בסיס כזה נקרא לעיתים גם '''מערכת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] פונדמנטלית'''.
+בסיס נקרא גם '''מערכת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] יסודית'''.
+אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (ל''איזושהי'' טופולוגיה) אם X [[כיסוי (טופולוגיה)|מכוסה]] על-ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות <math>\ b_1,b_2 \in B</math> ונקודה בחיתוך <math>\ x\in b_1 \cap b_2</math>, קיימת קבוצה <math>\ b_3 \in B</math> בבסיס, כך ש- <math>\ x \in b_3 \subset b_1 \cap b_2</math>.
-== מושגים הקשורים בבסיס ==
+אם מתקיימות שתי תכונות אלה, אז אוסף האיחודים של קבוצות מן הבסיס מהווה טופולוגיה על X.
+=== תת-בסיס ===
-* '''בסיס מקומי (לוקלי)''': זהו בסיס לטופולוגיה סביב נקודה מסוימת במרחב X. באופן פורמלי, אוסף <math>\mathbb{B}_x \subset \tau</math> יקרא "בסיס לטופולוגיה בנקודה ב x" אם:  <math>\ \forall V \in \tau , x \in V \ : \ \exist B \in \mathbb{B}_x : x \in B \subset V</math>
-* נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את [[אקסיומת המניה הראשונה]] (או בקיצור: X ממנייה I) אם לכל נקודה ב-X קיים בסיס מקומי [[בן מניה]].
-* '''משקל''': משקל של מרחב טופולוגי, <math>\ w(X)</math> מוגדר להיות ה[[עוצמה]] הקטנה ביותר של בסיס (כלשהו) לטופולוגיה.
-* נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את [[אקסיומת המניה השניה]] (או בקיצור: X ממנייה II או מקיים מנייה II) אם המשקל שלו קטן או שווה ל[[אלף 0]] (כלומר: קיים בסיס לטופולוגיה ב X שהוא [[בן מניה]]).
-* אוסף של קבוצות חלקיות ל X , <math>\mathbb{S} \subset \tau</math>יקרא '''[[תת-בסיס]]''' אם אוסף כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מ S מהווה בסיס. אוסף S יקרא תת-בסיס של B אם אם כל איבר בבסיס B ניתן להצגה כחיתוך סופי של קבוצות מהתת-בסיס. כלומר: <math>\forall B \in \mathbb{B} : \exist n \in \mathbb{N} , \ S_1 \cdots S_n \in \mathbb{S} \ : \ B = S_1 \cap \cdots \cap S_n</math> .
+'''תת-בסיס''' של מרחב טופולוגי <math>\ ( X,\tau )</math> הוא אוסף <math>\ S</math> של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ- S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן איחודים של חיתוכים סופיים של קבוצות מ- S.
-=== אפיון בסיס ותת-בסיס ===
+== מושגים קרובים ==
-המשפט הבא נותן קריטריון פשוט לאפיון וזיהוי בסיס.
+* מרחב טופולוגי מקיים את [[אקסיומת המנייה השניה]], אם יש לו בסיס [[קבוצה בת מנייה|בן מניה]].
-'''משפט''': נניח ש X מרחב לא ריק. אזי אוסף <math>\mathbb{B}</math> של קבוצות חלקיות ל X יקרא '''בסיס''' [[אם ורק אם]] הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:
+* '''בסיס מקומי''': אוסף B של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי היא "בסיס מקומי" סביב הנקודה x, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את x מכילה איבר של B המכיל את x.
-# לכל <math>\ x \in X</math> קיימת קבוצה ב B המכילה אותו. במילים אחרות: <math>\ \bigcup{\mathbb{B}} \equiv \bigcup_{B \in \mathbb{B}}{B} = X</math>. כלומר: הבסיס [[כיסוי (טופולוגיה)|מכסה]] את X.
+* [[אקסיומת המנייה הראשונה]] היא התכונה שיש במרחב, סביב כל נקודה, בסיס מקומי [[קבוצה בת מנייה|בן מניה]].
-# לכל <math>\ B_1 , B_2 \in \mathbb{B}</math> שאינן זרות ולכל <math>\ x \in B_1 \cap B_2</math> קיימת <math>\ B_3 \in \mathbb{B}</math> כך ש <math>\ x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2</math>.
-אם שתי תכונות אלה מתקיימות, האוסף <math>\ \tau = \{ \mbox{All unions of sets from } \mathbb{B} \}</math> הוא טופולוגיה על X.
-המשפט הבא מאפיין תתי-בסיס.
-'''משפט''': אוסף של תתי-קבוצות של X הוא תת-בסיס אם ורק אם הוא [[כיסוי (טופולוגיה)|מכסה]] את X (כלומר: איחוד כל הקבוצות באוסף שווה ל X).
 == דוגמאות ==
 * ב[[מרחב מטרי]], אוסף כל [[כדור (טופולוגיה)|הכדורים הפתוחים]] הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי ה[[מטריקה]].
-* מעל [[הישר הממשי]], הקבוצה <math>\ \mathbb{B} = \{ (a,\infty) | a \in \mathbb{R} \}</math> היא בסיס. הטופולוגיה שהוא משרה בעצם שווה לבסיס עצמו!
+* ב[[הישר הממשי]], הקבוצה <math>\ \mathbb{B} = \{ (a,\infty) | a \in \mathbb{R} \}</math> היא בסיס. הטופולוגיה שהוא משרה בעצם שווה לבסיס עצמו!
 * במרחב <math>\mathbb{R}</math> עם הטופולוגיה המטרית (ה[[מטריקה]] היא [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]]) הקבוצה <math>\ \mathbb{S} = \{ (a,\infty) , ( - \infty , b) | a,b \in \mathbb{R} \}  </math>  היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
 * [[הישר העשיר]] מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.

טופולוגיה קבוצתית
מושגי יסוד	מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם
בתוך המרחב	קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי
תכונות של מרחבים טופולוגיים
אקסיומות ההפרדה	T₀ • ‏ T₁ • ‏ T₂ (מרחב האוסדורף) • T_2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T₃ (מרחב רגולרי) • T_3.5 • ‏ T₄ (מרחב נורמלי) • T₅ • ‏ T₆ • מרחב מטריזבילי
אקסיומות המנייה	С₁ • ‏ С₂ • מרחב ספרבילי
קומפקטיות	קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי
תכונות נוספות	מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני
ק
בניות	מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • קומפקטיפיקציה (קומפקטיפיקציה חד-נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה
משפטים	הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר
דוגמאות	קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי
שונות	טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי
נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה