מרחב אפיני

במתמטיקה, מרחב אפיני הוא גאומטריה עם נקודות וישרים, המקיימת כמה אקסיומות פשוטות. למרחב אפיני יש ממד, ומרחב מממד 2 נקרא מישור אפיני. המרחב האפיני מכליל כמה מהתכונות של מרחב אוקלידי. במרחב אפיני ניתן להוסיף וקטור לנקודה כדי לקבל נקודה, להפחית נקודה מנקודה כדי לקבל וקטור, אך לא לחבר נקודות. בפרט, כל נקודה יכולה לתפקד באותה מידה כראשית הצירים. הדוגמה הקלאסית למרחב אפיני היא אוסף הנקודות במרחב וקטורי מעל שדה (או חוג עם חילוק), עם ההזזות של תת-מרחבים חד-ממדיים כישרים.

הגדרה

מנקודת המבט של גאומטריית חילה, מרחב אפיני הוא גאומטריה שיש בה שני טיפוסים, נקודות וישרים, עם יחס חילה ביניהם. מערכת של נקודות וישרים נקראת מרחב ליניארי אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, ויש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים. יחס שקילות על הישרים של מרחב ליניארי נקרא יחס הקבלה אם לכל ישר g ולכל נקודה x, יש ישר יחיד הכולל את x ומתייחס ל-g. במרחב ליניארי L עם יחס הקבלה, תת-מרחב U הוא סגור להקבלה אם לכל ישר g ונקודה ב-U, הישר המקביל ל-g דרך הנקודה מוכל כולו ב-U. תת-מרחב של L נקרא תת-מרחב אפיני אם הוא סגור להקבלה. החיתוך של תת-מרחבים אפיניים הוא תת-מרחב אפיני, וכך מוגדר תת-המרחב האפיני הנוצר על ידי קבוצת נקודות S, כחיתוך כל תת-המרחבים האפיניים המכילים אותה.

מרחב אפיני הוא מרחב ליניארי שיש עליו יחס הקבלה, כך שכל תת-מרחב אפיני הנוצר על ידי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, מהווה מישור אפיני. במרחב אפיני שבו יש שלוש נקודות על כל ישר, כל תת-מרחב הוא תת-מרחב אפיני (אבל יש מרחבים אפיניים שבהם שתי נקודות על כל ישר, ושם כל תת-קבוצה של הנקודות מהווה תת-מרחב, וחלק מאלו אינם אפיניים).

מרחב ליניארי המקיים את אקסיומת המקבילים (דרך כל נקודה שאינה על ישר t, עובר ישר יחיד שאינו נחתך עם t) נקרא מישור אפיני. מרחב ליניארי שכל המישורים בו אפיניים מהווה מרחב אפיני, בתנאי שעל כל ישר יש לפחות ארבע נקודות (משפט Buekenhout).

הקשר למרחבים פרויקטיביים

סילוק ישר אחד ממישור פרויקטיבי מניב מישור אפיני, ולהפך, כל מישור אפיני אפשר לשכן במישור פרויקטיבי על ידי הוספת ישר אחד (המכונה "הישר באינסוף") והרחבה מתאימה של יחס החילה. באופן כללי יותר, אם מסירים ממרחב פרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם). ההתאמה בין תת-מרחבים אפיניים לתת-מרחבים פרויקטיביים מאפשרת להגדיר במרחב האפיני ממד.

מורפיזמים

העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב אפיני לקבוצת הנקודות של מרחב ליניארי נקראת קולינאציה אם היא מעבירה ישרים לישרים, וקולינאציה שומרת הקבלה אם ישרים מקבילים עוברים לישרים מקבילים. אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קולינאציה שומרת תמיד הקבלה. כל קולינאציה שומרת הקבלה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. כמו כן היא שומרת תת-מרחבים אפיניים, ושומרת על בסיסים וממדים. מרחבים אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים. קולינאציה בין מרחבים פרויקטיביים משרה קולינאציה בין מרחבים אפיניים המתקבלים מהם על ידי הסרת על-מישור, ולהפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרויקטיביים שהם מגדירים.

קולינאציה שומרת הקבלה a ממרחב אפיני לעצמו היא הזזה אם יש מחלקת הקבלה שהישרים שלה נשמרים, ואין ל-a נקודות שבת (גם הזהות נקראת הזזה). קולינאציה שומרת הקבלה היא הומולוגיה אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). קולינאציה מאחד משני הסוגים האלו נקראת קולינאציה מרכזית.

ראו גם

• מרחב פרויקטיבי
• גאומטריית חילה

קישורים חיצוניים

• מרחב אפיני, באתר MathWorld (באנגלית)