זוגיות (מתמטיקה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

מספר זוגי הוא מספר שלם, המתחלק בשתיים ללא שארית. מספר שלם שאינו מספר זוגי נקרא מספר אי־זוגי. לדוגמה, $\ 2,4,-18,0$ הם מספרים זוגיים, ואילו 7 אינו זוגי אלא אי־זוגי. המספרים הזוגיים נקראים כך משום שאם בקבוצה יש מספר זוגי של עצמים, אז אפשר לחלק אותם לזוגות.

כשמחלקים מספר ב־ 2, השארית היא 0 אם המספר זוגי, ו־ 1 אם הוא אי־זוגי. התכונה של מספר להיות זוגי או אי־זוגי נקראת זוגיות. הזוגיות נקבעת, אם־כך, לפי השארית בחלוקה ל־ 2.

את קבוצת המספרים השלמים, $\mathbb {Z}$, ניתן לחלק לשתי קבוצות זרות:

• זוגיים: $\{2k:k\in \mathbb {Z} \}$
• אי־זוגיים: $\{2k-1:k\in \mathbb {Z} \}$

תכונות אריתמטיות

סכום של שני מספרים זוגיים, או של שני מספרים אי־זוגיים, הוא זוגי. הסכום של מספר זוגי ומספר אי־זוגי הוא אי־זוגי.
המכפלה של מספר זוגי בכל מספר שלם היא זוגית. המכפלה של שני מספרים אי־זוגיים היא אי־זוגית.
כל חזקה (במספר טבעי גדול מאפס) של מספר זוגי היא זוגית, וכל חזקה (במספר טבעי) של מספר אי־זוגי היא אי־זוגית.

סימני החלוקה:

• מספר שלם הנתון בהצגה עשרונית הוא זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו זוגית (כלומר, שווה ל־ 0, 2, 4, 6 או 8).
• עובדה זו נכונה בכל בסיס זוגי: המספר זוגי אם ורק אם ספרת האחדות זוגית. הסיבה לכך היא שכל ספרה שמעל לספרת האחדות תורמת כפולה של הבסיס, ולכן אינה משפיעה על הזוגיות. בהתאם לכך, מספר בינארי הוא זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 0, והוא אי־זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 1.
• בבסיס אי־זוגי, מספר הוא זוגי אם ורק אם סכום הספרות שלו זוגי.

השערת גולדבך, שהיא בעיה פתוחה בתורת המספרים, טוענת כי כל מספר זוגי פריק ניתן להצגה כסכום של שני מספרים ראשוניים.

קישורים חיצוניים

• זוגיות, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.