פונקציות זוגיות ואי-זוגיות – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תקלדה
←‏תכונות: מה הפונקציה הקדומה של מינוס 1 חלקי שורש 1 פחות איקס בריבוע? , ארככוס x היא אי זוגית במקדם החופשי מינוס פאי חלקי 2!
שורה 66: שורה 66:
*'''[[אינטגרל]] של פונקציה:'''
*'''[[אינטגרל]] של פונקציה:'''
**כל [[פונקציה קדומה]] של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
**כל [[פונקציה קדומה]] של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
**לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
**לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה y שווה ל-0 כש-x שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
**האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
**האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
**האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
**האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.

גרסה מ־13:01, 2 בפברואר 2020

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר (כלומר לציר ה-).

פונקציה זוגית

הגדרה: ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ההגדרה ועבור המספר הנגדי לו, כלומר .

סימטריה: כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ה-.

דוגמאות של פונקציות זוגיות:

פונקציה אי-זוגית

הגדרה: ערכה עבור כל מספר בתחום ההגדרה הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר .

סימטריה: כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר ה- (כלומר יש לה סימטריית סיבוב של סביב לראשית).

דוגמאות של פונקציות אי-זוגיות:

פונקציה כללית

ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית:

וזאת כאשר: ו


יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע שמרחב הפונקציות כולן מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).

לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:d
ו
או:
ו

בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה.

תכונות

  • סכום פונקציות:
    • סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ- לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס).
    • סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ- לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
  • מכפלת פונקציות:
    • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
    • מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
    • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
  • חלוקת פונקציות:
    • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
    • מנה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
    • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.

באופן כללי כל מכפלה הכוללת פונקציות זוגיות ולא זוגיות בלבד (הפונקציה היא לא זוגית), הפונקציות הזוגיות משמרות את הזוגיות, והזוגיות תלויה האם מספר הפונקציות האי זוגיות זוגי או לא זוגי.

  • הרכבת פונקציות:
    • הרכבה הכוללת פונקציות זוגיות ולא כוללת פונקציות כלליות היא פונקציה זוגית.
    • הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית.
    • הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית, אך הרכבה של פונקציה זוגית על פונקציה כללית אינה בהכרח זוגית.
  • גזירת פונקציה:
    • נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית (אם אינה אפס).
    • נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
    • נגזרת של פונקציה כללית היא פונקציה כללית או זוגית.
  • אינטגרל של פונקציה:
    • כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
    • לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה y שווה ל-0 כש-x שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
    • האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
    • האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
  • תכונת האפס: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת בנקודה חייבת לקיים .

קישורים חיצוניים