גבול (מתמטיקה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, גבול של אובייקט אינסופי הוא איבר בודד המייצג את ההתנהגות ארוכת הטווח של האובייקט. זהו מושג יסודי באנליזה מתמטית, ובהתאם לכך קיימים גבולות של סדרות, של פונקציות, ואף של סדרת פונקציות. בהקשר הטופולוגי הרחב יותר, מוגדרים גם גבולות של רשתות ומסננים.

לדוגמה, גבול של סדרת מספרים ממשיים הוא מספר שכמעט כל אברי הסדרה נמצאים במרחק קטן ממנו, ויהי המרחק קטן ככל שיהיה. לדוגמה, גבולה של הסדרה ההרמונית $\ 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots$ הוא אפס. אם יש לסדרה (של מספרים ממשיים) גבול, אז הוא יחיד. עם זאת, לא לכל סדרה קיים גבול: סדרה שיש לה גבול נקראת סדרה מתכנסת, וסדרה שאין לה גבול נקראת סדרה מתבדרת.

היסטוריה

את הטיפול בעצמים אינסופיים בדרך של גבולות, הגם שהוא זר לרוחה של הפילוסופיה הקלאסית, אפשר לאתר כבר בחישובים שערכו המתמטיקאים ההלניים, ובראשם ארכימדס. שיטת המיצוי, שבה השתמשו כדי לחשב שטחים ונפחים של גופים מסובכים, וגם את ערכו של פאי, מבוססת על קירוב הגוף המבוקש באמצעות גופים פשוטים יותר, באופן שהשגיאה הולכת וקטנה. בשפה מודרנית, אומרים שהשטח של הגוף המורכב הוא גבולה של סדרת השטחים של הגופים הפשוטים.

רעיונות אלה שוכללו במידה ניכרת כאשר פיתחו לייבניץ וניוטון את החשבון האינפיניטסימלי, העוסק בתכונות של פונקציות ממשיות. האנליזה החדשה הייתה מבוססת על מושגים כגון "גודל הקטן לאינסוף" ו"גודל הגדל לאינסוף", ולמרות ההצלחה המיידית שלה בחישובים שלא ניתן היה לעשות קודם לכן, מנקודת המבט המודרנית היו בה פגמים לא מעטים.

את ההדורים האלה יישר המתמטיקאי קושי, שהציע ניסוח של מושגי הגבול השונים בתור תנאי. במקום לומר ש"כאשר x הולך ומתקרב ל-2, המרחק בין ערכה של הפונקציה $\ f(x)={\frac {x^{2}-4}{x-2}}$ לבין המספר 4 הולך וקטן לאפס", נתן קושי הגדרה מדויקת: "לכל מספר חיובי $\ \varepsilon$, קיים מספר חיובי $\ \delta$, כך שאם המרחק מ- $x$ ל-2 אינו עולה על $\ \delta$, אז המרחק מ- $\ f(x)$ ל-4 אינו עולה על $\ \varepsilon$". הגדרה זו לגבול של פונקציה, יחד עם הגדרות דומות לגבול של סדרה, אפשרו לקושי וויירשטראס להוכיח את המשפטים החשובים בחשבון האינפיניטסימלי, כפי שהם מוכרים היום.

גבולות שונים

• גבול של סדרה. הטיפוס הבסיסי של גבול הוא גבול של סדרה של מספרים ממשיים, שאליו הולכים ומתקרבים אברי הסדרה.
• גבול (טופולוגיה). הגדרות דומות מאוד לגבול של סדרה ממשית תקפות גם עבור גבולות של סדרות בכל מרחב מטרי. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר גבול לסדרה גם במרחב טופולוגי.
• גבול של פונקציה. מושג יסוד בחשבון אינפיניטסימלי, המתאר לאיזה ערך מתקרבת הפונקציה, כאשר המשתנה הבלתי תלוי הולך ומתקרב לנקודה מסוימת או גדל בלי הגבלה, או קטן בלי הגבלה. המתמטיקאי הגרמני היינריך אדוארד היינה (1821-1881) הציע להגדיר גבול של פונקציה באמצעות גבולות של סדרות, והגדרה זו שקולה להגדרה המקובלת יותר שהציע קושי, שניתנה קודם לכן.
• גבול של סדרת פונקציות:
  • התכנסות נקודתית של סדרת פונקציות, בה יש התכנסות בכל נקודה בתחום ההגדרה של הסדרה ומבטיחה את קיומה של פונקציית הגבול בתחום זה.
  • התכנסות במידה שווה של סדרות פונקציות, שהיא חזקה יותר מתכונת ההתכנסות הנקודתית ומבטיחה שתכונות כגון רציפות ואינטגרביליות עוברות מפונקציות הסדרה אל פונקציית הגבול. בעוד שבהתכנסות נקודתית בכל נקודה סדרת הפונקציות יכולה להתכנס בקצב משלה, הרי שבהתכנסות במידה שווה, קצב ההתכנסות חייב להיות אחיד לכל הנקודות בתחום ההגדרה.

ראו גם

• אריתמטיקה של גבולות

לקריאה נוספת

• טימותי גוורס, מתמטיקה, ידיעות ספרים, 2007, הפרק "גבולות ואינסוף", עמ' 72–86.

קישורים חיצוניים

• מחשבון גבולות
• ❤² Introduction to Limits (mathbff) - מבוא לגבולות
• גבול, באתר MathWorld (באנגלית)