הקבוצה הריקה

סמלה של הקבוצה הריקה

הקבוצה הריקה היא קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן $\emptyset$ (שמקורו באות הנורווגית "Ø", אין קשר לאות היוונית ϕ) או בצורה {}.

במסגרת האקסיומות של תורת הקבוצות נכללת אקסיומת הקיום: קיימת קבוצה A כך שלא קיים $\ x$ עבורו $x\in A$. כלומר, אקסיומה זו קובעת שקיימת קבוצה ריקה.

על-פי אקסיומת היחידות ניתן להוכיח את יחידות הקבוצה הריקה, כלומר קיימת רק אחת כזו.

תכונות של הקבוצה הריקה

• לכל קבוצה A, הקבוצה הריקה היא תת-קבוצה של A:

$\emptyset \subseteq A$

• לכל קבוצה A, האיחוד של A עם הקבוצה הריקה שווה ל-A:

$A\cup \emptyset =A$

• לכל קבוצה A, החיתוך של A עם הקבוצה הריקה שווה לקבוצה הריקה:

$A\cap \emptyset =\emptyset$

• המשלים של הקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית:

$\!\,\emptyset '=U$

• תת-הקבוצה היחידה של הקבוצה הריקה היא הקבוצה הריקה. קבוצת החזקה שלה היא יחידון הכולל את הקבוצה הריקה בלבד.
• העוצמה של הקבוצה הריקה היא אפס, ובפרט: הקבוצה הריקה היא קבוצה סופית.
• לכל קבוצה A קיימת בדיוק פונקציה אחת $f:\emptyset \rightarrow A$ (הלוא היא הפונקציה הריקה, שאין בה זוגות סדורים כלל). אם A אינה ריקה, אז אין פונקציות $f:A\rightarrow \emptyset$.
• בכל מרחב טופולוגי הקבוצה הריקה היא הן קבוצה פתוחה והן קבוצה סגורה.
• במונחים של תורת הקטגוריות, הקבוצה הריקה היא אובייקט התחלתי בקטגוריה של קבוצות.
• הקבוצה הריקה היא קבוצה ממידה אפס.

חשיבות הקבוצה הריקה במתמטיקה

המתמטיקה שואפת להשתמש במספר קטן ככל האפשר של הנחות יסוד (אקסיומות) ושל הגדרות יסוד. תורת הקבוצות מבוססת על מושג אטומי אחד, מושג הקבוצה, ועל יחס אחד - יחס השייכות. אחת האקסיומות במערכת צרמלו-פרנקל קובעת שיש קבוצה ריקה ("קיים x כך שלכל y, לא נכון ש-$\ y\in x$", כלומר, יש קבוצה שאין לה איברים), והגדרת השוויון מבטיחה שקבוצה זו היא יחידה (לכל שתי קבוצות ריקות יש בדיוק אותם איברים).

הקבוצה הריקה משמשת מעין 'אבן בניין' שממנה ניתן לבנות קבוצות רבות נוספות, מה שהופך אותה במובן מסוים לעצם היסודי והבסיסי ביותר במתמטיקה. כך לדוגמה ניתן להגדיר את $\ \{\emptyset \}$ (הקבוצה המכילה את הקבוצה הריקה) ואת $\ \{\{\emptyset \}\}$ (הקבוצה המכילה את הקבוצה המכילה את הקבוצה הריקה). באמצעות בניות בנוסח זה ניתן לבנות הגדרות למושגים בסיסיים במתמטיקה כגון מספרים, פונקציות ואובייקטים גאומטריים כגון נקודות, קווים ומעגלים.

מספרים

בשנת 1923 הציג ג'ון פון נוימן שיטה (המכונה מספור סודר) לבניית המספרים הטבעיים המבוססת על הקבוצה הריקה:

$0=\emptyset$ (הקבוצה הריקה)

$1=\{0\}=\{\emptyset \}$

$2=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$

$3=\{0,1,2\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}$

$4=\{0,1,2,3\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\}$

$\ n+1=n\cup \left\{n\right\}$

באמצעות המספרים הטבעיים ניתן לבנות את כל מערכות המספרים החשובות: את המספרים השלמים (שנבנים בתור זוג סדור של מספרים טבעיים - כך שהמספר השלם הוא כביכול תוצר החיסור של המספר השני מהמספר הראשון), המספרים הרציונליים (כזוגות סדורים של מספרים שלמים), המספרים הממשיים (כגבול לסדרות של מספרים רציונליים) ואת המספרים המרוכבים (כזוגות סדורים של מספרים ממשיים). באמצעות השיטה הקרטזית ניתן להגדיר מונחים בגאומטריה באמצעות מספרים: נקודה במרחב n ממדי מוגדרת כקבוצה סדורה של n מספרים ממשיים, קו מוגדר כאוסף נקודות, וכן הלאה.

משחקים

המתמטיקאי ג'ון הורטון קונוויי פיתח בנייה הקרויה 'מספרים סוריאליסטיים' שלה שימושים רבים בתיאור משחקי אסטרטגיה (כמו נים, איקס עיגול, הקס, דמקה ושחמט) ומבוססת אף היא על תורת הקבוצות ועל הקבוצה הריקה.

הבנייה של קונויי משמשת לתיאור משחקים בהם יש שני שחקנים, ולא מעורבים בהם מזל (כמו במשחקי קובייה) או חוסר ידיעה (כמו במשחק טקטיקו). בבנייה זו כל מצב במשחק מתואר באמצעות שתי קבוצות, הראשונה מתארת את המצבים שאליהם יכול להגיע השחקן הראשון אם זה תורו, והשנייה מתארת את המצבים אליהם יכול להגיע השחקן השני אם זה תורו. המצב הבסיסי במשחק הוא:

$0=\{\emptyset |\emptyset \}$

שפירושו שלאף שחקן אין מהלכים אפשריים, כלומר מי שתורו לשחק מפסיד. ומכאן ניתן לבנות מצבים נוספים, לדוגמה:

$1=\{\emptyset |\{\emptyset |\emptyset \}\}=\{\emptyset |0\}$

הוא מצב שבו לשחקן הראשון יש מהלך שמביא את המשחק למצב האפס, ואילו לשחקן השני אין מהלך לבצע. למצבים מעין זה ניתן להצמיד ערך מספרי שפרושו כמה מהלכים עודפים יש לשחקן הראשון לבצע, יחסית לשחקן השני. על מצבים כאלה ניתן לערוך פעולות חשבון כמו חיבור וכפל, בדומה למספרים רגילים. מנגד אפשר לתאר בבניה של קונויי גם מצבים שלא ניתן להצמיד להם ערך מספרי רגיל, כמו המצב:

$1*=\{\{\emptyset |\emptyset \}|\{\emptyset |\emptyset \}\}=\{0|0\}$

שפירושו שלשני השחקנים יש מהלך אחד אפשרי המביא את המשחק למצב האפס, שממנו מפסיד היריב; במילים אחרות - מי שתורו לשחק מנצח.

הקבוצה הריקה בפילוסופיה

לאורך הדורות פילוסופים רבים דנו בקיום ובמשמעות של הקבוצה הריקה, של ה'כלום', ומושג זה שיחק לעיתים תפקיד חשוב בתורה שלהם.

הפילוסוף היווני פרמנידס (המאה ה-5 לפנה"ס) טען ש'כלום' לא יכול להתקיים, שכן לא ניתן להתייחס לדברים אלא אם כן הם קיימים. מתוך שלילת הקבוצה הריקה שלל פרמנידס את האפשרות של יצירה של דברים 'יש מאין' או היעלמות של דברים, והמשיך לשלול כל תנועה או שוני. הפרדוקסים של זנון נבנו על ידי תלמיד של פרמנידס, שהביא ראיות נוספות לתורה של מורו בדרך השלילה: הוא הניח שתנועה קיימת והראה שהנחה זאת מובילה לסתירות. אריסטו אמר על תורתו של פרמנידס שלמרות שנראה שהטענות שלו מבוססות על הגיון לוגי מוצק, להאמין לתוצאות (שלא קיימים תנועה או שוני בעולם) גובל בטירוף.

הפילוסופים האטומיסטים, כמו לוקיפוס ודמוקריטוס קיבלו את טענותיו של פרמנידס שלפיהן ללא 'כלום' תנועה לא יכולה להתקיים, וביססו את התורות שלהם על מבנה החומר על ההנחה שבין החלקיקים היסודיים ישנו 'כלום'. גם אריסטו התייחס לנקודה זאת בכך שהוא הבדיל בין 'חומר' ל'מרחב' וכך איפשר למרחב ריק מחומר להתקיים. הקשר בין קיומו של 'כלום' לבין מבנה החומר והדינמיקה שלו המשיך להעסיק פילוסופים כגון רנה דקארט ובלז פסקל, וכן ממלא תפקיד חשוב בתורות פיזקליות כמו מכניקה ניוטונית, תורת הקוונטים ויחסות כללית.

הכלום מופיע כבר בפתיחת ספרו של גיאורג וילהלם פרידריך הגל, מחשובי הפילוסופים של עידן האורות, 'לוגיקה'. ספר זה נפתח בתזה - 'המוחלט הוא ישות טהורה', באנטיתזה 'המוחלט הוא כלום' ובסינתזה 'המוחלט הוא בהיווצרות'.

בפילוסופיות מזרחיות, כגון בודהיזם, כלום משחק תפקיד חשוב כמצב תודעתי רצוי.

ראו גם

• תורת הקבוצות - מונחים

קישורים חיצוניים

• הקבוצה הריקה, באתר MathWorld (באנגלית)