תת-קבוצה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־22:29, 26 במאי 2020

בתורת הקבוצות, אומרים שהקבוצה הנתונה $B$ היא תת-קבוצה של הקבוצה הנתונה $A$ ^[1] אם כל איבר של הקבוצה $B$ שייך גם לקבוצה $A$ . (בניסוח פורמלי: לכל $x\in B$ מתקיים $x\in A$ ).

את הקשר " $B$ מוכלת ב- $A$ " (או: $B$ חלקית ל- $A$ , או: $B$ תת-קבוצה של $A$ , או, $A$ מכילה את $B$ ) מסמנים כך: $B\subseteq A$ , והוא מכונה יחס ההכלה.

מאפיינים

הקבוצה הריקה היא קבוצה חלקית לכל קבוצה נתונה. זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה הנתונה (הטענה נכונה באופן ריק כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).

ליחס ההכלה המאפיינים הבאים:

"רפלקסיביות": כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה (ובמילים שקולות: כל קבוצה מוכלת בעצמה, או: כל קבוצה היא חלקית לעצמה).
"טרנזיטיביות": אם הקבוצה $A$ היא תת-קבוצה של הקבוצה $B$ והקבוצה $B$ היא תת-קבוצה של הקבוצה $C$ , אזי הקבוצה $A$ היא גם תת-קבוצה של הקבוצה $C$ (בניסוח פורמלי: אם $A\subseteq B$ וגם $B\subseteq C$ אז $A\subseteq C$ ).

אם כן, יחס ההכלה הוא יחס סדר חלקי: הוא רפלקסיבי, אנטיסימטרי חלש וטרנזיטיבי. היחס אינו שלם: כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הישראלים, או הקבוצה $\{1,2\}$ והקבוצה $\{2,3\}$ ) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.

יחסים נוספים

באמצעות יחס ההכלה ניתן להגדיר את יחס השוויון בין קבוצות; אומרים שהקבוצה $A$ שווה לקבוצה $B$ אם ורק אם הקבוצה $A$ מכילה את הקבוצה $B$ וגם הקבוצה $B$ מכילה את הקבוצה $A$ . (בכתיב פורמלי: $A=B\iff B\subseteq A\land A\subseteq B$ ).

באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה $A$ מכילה את הקבוצה $B$ אך אינה שווה לה (יש איבר בקבוצה $A$ שהוא אינו איבר בקבוצה $B$ , ובניסוח פורמלי $B\subseteq A$ וגם $B\neq A$ ), נאמר שהקבוצה $A$ מכילה ממש את הקבוצה $B$ , או במילים שקולות: הקבוצה $B$ היא חלקית ממש לקבוצה $A$ . יחס זה מסמנים $B\subset A$ . (בכתיב פורמלי: $B\subset A\iff B\subseteq A\land B\neq A$ ).

הסימון $\subset$ עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים $\subseteq$ ו- $\subset$ הכלה ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים $\subset$ ו- $\subsetneq$ לאותן מטרות, בהתאמה.

ראו גם

מונחים בתורת הקבוצות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תת-קבוצה בוויקישיתוף

תת-קבוצה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ או במילים שקולות: הקבוצה $B$ היא חלקית לקבוצה $A$ , או: הקבוצה $B$ מוכלת בקבוצה $A$ , או: הקבוצה $A$ מכילה את הקבוצה $B$

[1] או במילים שקולות: הקבוצה $B$ היא חלקית לקבוצה $A$ , או: הקבוצה $B$ מוכלת בקבוצה $A$ , או: הקבוצה $A$ מכילה את הקבוצה $B$

[1]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קובץ:Group set.png|שמאל|ממוזער|250px|[[דיאגרמת ון]] של קבוצה עם תת-קבוצה המוכלת בה]]
-ב[[תורת הקבוצות]], אומרים שה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] הנתונה <math>\ B</math> היא '''תת-קבוצה''' של הקבוצה הנתונה <math>\ A</math>{{הערה|1=או במילים שקולות: הקבוצה <math>\ B</math> היא '''חלקית''' לקבוצה <math>\ A</math>, או:  הקבוצה <math>\ B</math> '''מוכלת''' בקבוצה <math>\ A</math>, או: הקבוצה <math>\ A</math> '''מכילה''' את הקבוצה <math>\ B</math>}} אם כל איבר של הקבוצה <math>\ B</math> שייך גם לקבוצה <math>\ A</math>. (בניסוח פורמלי: לכל <math>\ x\in B</math> מתקיים <math>\ x \in A</math>).
+ב[[תורת הקבוצות]], אומרים שה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] הנתונה <math>B</math> היא '''תת-קבוצה''' של הקבוצה הנתונה <math>A</math>{{הערה|1=או במילים שקולות: הקבוצה <math>B</math> היא '''חלקית''' לקבוצה <math>A</math>, או:  הקבוצה <math>B</math> '''מוכלת''' בקבוצה <math>A</math>, או: הקבוצה <math>A</math> '''מכילה''' את הקבוצה <math>B</math>}} אם כל איבר של הקבוצה <math>B</math> שייך גם לקבוצה <math>A</math>. (בניסוח פורמלי: לכל <math>x\in B</math> מתקיים <math>x \in A</math>).
-את הקשר "<math>\ B</math> מוכלת ב-<math>\ A</math>" (או: <math>\ B</math> חלקית ל-<math>\ A</math>, או: <math>\ B</math> תת-קבוצה של <math>\ A</math>, או,  <math>\ A</math> מכילה את <math>\ B</math>) מסמנים כך: <math>\ B \subseteq A</math>, והוא מכונה '''יחס ההכלה'''.
+את הקשר "<math>B</math> מוכלת ב-<math>A</math>" (או: <math>B</math> חלקית ל-<math>A</math>, או: <math>B</math> תת-קבוצה של <math>A</math>, או, <math>A</math> מכילה את <math>B</math>) מסמנים כך: <math>B \subseteq A</math>, והוא מכונה '''יחס ההכלה'''.
 ==מאפיינים==
@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 ל[[יחס]] ההכלה המאפיינים הבאים:
 * "[[יחס רפלקסיבי|רפלקסיביות]]": כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה (ובמילים שקולות: כל קבוצה מוכלת בעצמה, או: כל קבוצה היא חלקית לעצמה).
-* "[[טרנזיטיביות]]": אם הקבוצה <math>\ A</math> היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ B</math> והקבוצה <math>\ B</math> היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ C</math>, אזי הקבוצה <math>\ A</math> היא גם תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ C</math> (בניסוח פורמלי: אם <math>\ A \subseteq B</math> וגם <math>\ B \subseteq C</math> אז <math>\ A \subseteq C</math>).
+* "[[טרנזיטיביות]]": אם הקבוצה <math>A</math> היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>B</math> והקבוצה <math>B</math> היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>C</math>, אזי הקבוצה <math>A</math> היא גם תת-קבוצה של הקבוצה <math>C</math> (בניסוח פורמלי: אם <math>A \subseteq B</math> וגם <math>B \subseteq C</math> אז <math>A \subseteq C</math>).
-אם כן, יחס ה'''הכלה''' הוא [[יחס סדר חלקי]]: הוא [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]], [[יחס אנטי סימטרי|אנטיסימטרי חלש]] ו[[טרנזיטיביות|טרנזיטיבי]]. היחס אינו שלם: כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הישראלים, או הקבוצה <math>\ \{ 1,2 \}</math> והקבוצה <math>\ \{ 2,3 \}</math>) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.
+אם כן, יחס ה'''הכלה''' הוא [[יחס סדר חלקי]]: הוא [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]], [[יחס אנטי סימטרי|אנטיסימטרי חלש]] ו[[טרנזיטיביות|טרנזיטיבי]]. היחס אינו שלם: כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הישראלים, או הקבוצה <math>\{ 1,2 \}</math> והקבוצה <math>\{ 2,3 \}</math>) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.
 ==יחסים נוספים==
-באמצעות יחס ההכלה ניתן להגדיר את יחס השוויון בין קבוצות; אומרים שהקבוצה <math>\ A</math> שווה לקבוצה <math>\ B</math> [[אם ורק אם]] הקבוצה <math>\ A</math> מכילה את הקבוצה <math>\ B</math> וגם הקבוצה <math>\ B</math> מכילה את הקבוצה <math>\ A</math>. (בכתיב פורמלי: <math>A = B\iff B\subseteq A \land A\subseteq B</math>).
+באמצעות יחס ההכלה ניתן להגדיר את יחס השוויון בין קבוצות; אומרים שהקבוצה <math>A</math> שווה לקבוצה <math>B</math> [[אם ורק אם]] הקבוצה <math>A</math> מכילה את הקבוצה <math>B</math> וגם הקבוצה <math>B</math> מכילה את הקבוצה <math>A</math>. (בכתיב פורמלי: <math>A = B\iff B\subseteq A \land A\subseteq B</math>).
-באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה <math>\ A</math> מכילה את הקבוצה <math>\ B</math> אך אינה שווה לה (יש איבר בקבוצה <math>\ A</math> שהוא אינו איבר בקבוצה <math>\ B</math>, ובניסוח פורמלי <math>\ B \subseteq A</math> וגם <math>\ B \neq A</math>), נאמר שהקבוצה <math>\ A</math> '''מכילה ממש''' את הקבוצה <math>\ B</math>, או במילים שקולות: הקבוצה <math>\ B</math> היא '''חלקית ממש''' לקבוצה <math>\ A</math>. יחס זה מסמנים <math>\ B \subset A</math>. (בכתיב פורמלי: <math>B \subset A\iff B\subseteq A \land B\neq A</math>).
+באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה <math>A</math> מכילה את הקבוצה <math>B</math> אך אינה שווה לה (יש איבר בקבוצה <math>A</math> שהוא אינו איבר בקבוצה <math>B</math>, ובניסוח פורמלי <math>B \subseteq A</math> וגם <math>B \neq A</math>), נאמר שהקבוצה <math>A</math> '''מכילה ממש''' את הקבוצה <math>B</math>, או במילים שקולות: הקבוצה <math>B</math> היא '''חלקית ממש''' לקבוצה <math>A</math>. יחס זה מסמנים <math>B \subset A</math>. (בכתיב פורמלי: <math>B \subset A\iff B\subseteq A \land B\neq A</math>).
-הסימון <math>\ \subset</math> עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים <math>\ \subseteq</math> ו-<math>\ \subset</math> הכלה ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים <math>\subset</math> ו-<math>\subsetneq</math> לאותן מטרות, בהתאמה.
+הסימון <math>\subset</math> עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים <math>\subseteq</math> ו-<math>\subset</math> הכלה ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים <math>\subset</math> ו-<math>\subsetneq</math> לאותן מטרות, בהתאמה.
 ==ראו גם==