משפט רול – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־11:02, 19 ביוני 2020

משפט רול (על שם מישל רול שניסח אותו ב-1691), הוא משפט בסיסי בחשבון אינפיניטסימלי, העוסק בתכונה של פונקציות רציפות וגזירות בקטע סגור. המשפט אומר כי אם פונקציה רציפה בקטע סגור $\left[a,b\right]$ , גזירה בקטע הפתוח $\left(a,b\right)$ וערכיה בשני קצוות הקטע זהים $f(a)=f(b)$ , אז קיימת נקודה c בקטע $\left(a,b\right)$ כך ש- $f'(c)=0$ , כלומר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו הוא קו מאוזן ושיפועו שווה ל-0.

מבחינה לא פורמלית ניתן לתאר את המשפט כך: אם מצוירת פונקציה בין שתי נקודות באותו גובה (אותו ערך של $y$ ) בלי שהעיפרון מורם מהדף ובלי היווצרות 'שפיצים', תהיה לפחות נקודה אחת שבה העיפרון נע בדיוק במקביל לציר ה-x, ולא בשיפוע זוויתי כלשהו.

המשפט

תהי

\ f

פונקציה רציפה בקטע הסגור

\left[a,b\right]

וגזירה בקטע הפתוח

\left(a,b\right)

כך שמתקיים

f(a)=f(b)

. אז קיימת נקודה

$c\in (a,b)$ כך שמתקיים $f'(c)=0$ .

הוכחה

על פי משפט ויירשטראס השני, פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום. אם גם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצוות (אשר, לפי הנתון, שווים בערכם) הרי שהפונקציה קבועה, והנגזרת שלה היא אפס בכל נקודה. אחרת, נניח למשל שהמקסימום מתקבל בתוך הקטע. אז על פי משפט פרמה ערך הנגזרת בנקודת המקסימום הוא 0, כנדרש. עבור מינימום שמתקבל בתוך הקטע ההוכחה זהה.

הכללות

אף שהמשפט נדמה כמעט טריוויאלי, קיימות לו שתי הכללות שימושיות מאוד: משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומשפט הערך הממוצע של קושי.

קישורים חיצוניים

משפט רול, באתר MathWorld (באנגלית)

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קובץ:Rolle%27s_theorem.svg|שמאל|ממוזער|300px|המחשה של המשפט: הקו הירוק, שהוא המשיק לגרף הפונקציה בנקודה c, מקביל לקו האדום המחבר את הקטע [a,b] ולציר ה-x.]]
-ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], '''משפט רול''' (על שם [[מישל רול]] שניסח אותו ב-[[1691]]), הוא משפט בסיסי העוסק בתכונה של [[פונקציה ממשית|פונקציות]] [[פונקציה רציפה|רציפות]] ו[[גזירות (מתמטיקה)|גזירות]] ב[[קטע (מתמטיקה)|קטע סגור]]. המשפט אומר כי אם פונקציה רציפה בקטע סגור <math>\left[a,b\right]</math>, גזירה בקטע הפתוח <math>\left(a,b\right)</math> וערכיה בשני קצוות הקטע זהים <math>f(a)=f(b)</math>, אז קיימת נקודה c בקטע <math>\left(a,b\right)</math> כך ש-<math>f'(c)=0</math>, כלומר ה[[משיק]] לגרף הפונקציה בנקודה זו הוא קו מאוזן ושיפועו שווה ל-0.
+'''משפט רול''' (על שם [[מישל רול]] שניסח אותו ב-[[1691]]), הוא משפט בסיסי ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], העוסק בתכונה של [[פונקציה ממשית|פונקציות]] [[פונקציה רציפה|רציפות]] ו[[גזירות (מתמטיקה)|גזירות]] ב[[קטע (מתמטיקה)|קטע סגור]]. המשפט אומר כי אם פונקציה רציפה בקטע סגור <math>\left[a,b\right]</math>, גזירה בקטע הפתוח <math>\left(a,b\right)</math> וערכיה בשני קצוות הקטע זהים <math>f(a)=f(b)</math>, אז קיימת נקודה c בקטע <math>\left(a,b\right)</math> כך ש-<math>f'(c)=0</math>, כלומר ה[[משיק]] לגרף הפונקציה בנקודה זו הוא קו מאוזן ושיפועו שווה ל-0.
-מבחינה לא פורמלית ניתן לתאר את המשפט כך: אם מצוירת פונקציה בין שתי נקודות באותו גובה (אותו ערך של <math>y</math>) בלי שהעיפרון מורם מהדף ובלי היווצרות 'שפיצים', תהיה לפחות נקודה אחת שבה העיפרון נע בדיוק במקביל לציר ה-x, ולא בשיפוע כלשהו.
+מבחינה לא פורמלית ניתן לתאר את המשפט כך: אם מצוירת פונקציה בין שתי נקודות באותו גובה (אותו ערך של <math>y</math>) בלי שהעיפרון מורם מהדף ובלי היווצרות 'שפיצים', תהיה לפחות נקודה אחת שבה העיפרון נע בדיוק במקביל לציר ה-x, ולא בשיפוע זוויתי כלשהו.
 ==המשפט==

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד	חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות	פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה
משפטים	משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל	אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת	פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה
אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה