עבודה (פיזיקה)

בפיזיקה, עבודה שמפעיל כוח על גוף מוגדרת להיות המכפלה של היטל הכוח לאורך מסלול הגוף במרחק עליו פועל: $W=F_{||}\cdot \Delta r=F\cos \theta \cdot \Delta r$, כאשר $F$ גודל הכוח, $\Delta r$ המרחק שלאורכו הכוח פעל על הגוף, ו-$\theta$ הזווית בין כיוון פעולת הכוח לכיוון תנועת הגוף. הייחוד של הגודל הזה הוא שמתאר שינויים במהירות הגוף (ליתר דיוק, שינויים באנרגיה הקינטית) בלי צורך בידע על הזמן שעליו פעל הכוח. לפי חוקי ניוטון, כוח גורם לתאוצה, שגורם לשינוי במהירות שמצטבר לאורך זמן. כאשר שני גופים נתונים לאותם תנאי התחלה עושים אותו מסלול אבל באחד פועל כוח חלש מהשני, התאוצה תהיה קטנה יותר ולכן המהירות תגדל לאט יותר ויקח יותר זמן לעשות אותו מסלול, אך ניתן להראות שבסוף המסלול השינוי במהירות זהה, דבר שניתן לחישוב ישיר על ידי שימוש במושג עבודה. עבודה מוגדרת להיות חיובית אם ההיטל של הכוח על המסלול חיובי (כלומר הכוח דוחף את הגוף בתנועתו ומעלה את מהירותו) ושלילית אם הכוח פועל בניגוד לכיוון המסלול (ובכך מאט את הגוף).

באופן כללי, עבור מסלול לא ישר או כוח לא קבוע, העבודה מוגדרת להיות:

$\ W=\int _{\gamma }{{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$

כוח הפועל על גוף בניצב לכיוון תנועתו לא מבצע עבודה. לדוגמה כוח צנטריפטלי בתנועה מעגלית, כוח נורמלי של גוף שנע על משטח שקבוע במקומו, או כוח לורנץ של שדה מגנטי על חלקיק טעון, שניצב למהירותו.

יחידות

יחידת המידה לעבודה ביחידות SI היא ג'ול. ג'ול אחד שווה ערך לעבודה של כוח בן ניוטון אחד הפועל בכיוון התנועה לאורך מסלול באורך מטר. בהתאם לכך יחידת מידה זו שווה לניוטון מטר, אך משום שניוטון מטר היא יחידת המידה השימושית למומנט כוח, מחשש לבלבול בלי הקשר, מקובל לא לערבב בין השניים ולהשתמש לעבודה ואנרגיה ביחידה ג'ול.

עוד יחידות שימושיות לעבודה בהקשרים שונים ברחבי העולם הם (לא SI) הן קילוואט-שעה, ארג, כוח סוס-שעה, רגל-פאונד, וקלוריה.

עבודה ואנרגיה

עבודה ואנרגיה קשורות זו בזו: על פי משפט העבודה-אנרגיה, שינוי באנרגיה הקינטית של גוף בתנועה, שווה לעבודה הכוללת שבוצעה על הגוף במהלך תנועה זו (שהיא גם העבודה של הכוח השקול).

$W=\Delta E_{k}=\Delta {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}$

כאשר $v_{i}$ מהירות הגוף בהתחלה, $v_{f}$ מהירות הגוף בסוף, ו-$m$ מסת הגוף.

כאשר הגוף הוא לא נקודתי אלא גוף צפיד (כלומר, בלי דרגות חופש פנימיות), העבודה מתחלקת לאנרגיה קינטית שקשורה למהירות הגוף ואנרגיה קינטית שקשורה לסיבוב הגוף: $W=\Delta E_{k}=\Delta \left({\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}\right)$ כאשר $I$ מומנט ההתמד של הגוף ו-$\omega$ תדירות הסיבוב שלו סביב עצמו.

את העבודה שמבצע כוח משמר על גוף אפשר לראות כמינוס שינוי באנרגיה הפוטנציאלית, כלומר כשכוח כזה עושה עבודה חיובית האנרגיה הפוטנציאלית יורדת ואפשר לראות זאת כאילו היא עברה אל האנרגיה הקינטית של הגוף, ולהפך.

$W=-\Delta PE$

הוכחת משפט עבודה-אנרגיה לחלקיק נקודתי

בזמן $dt$ החלקיק מספיק לעשות העתק ששווה ל- $\Delta {\vec {r}}={\vec {v}}dt$, ולכן העבודה שנעשית על הגוף היא $dW={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}dt$ כאשר ${\vec {F}}$ שקול הכוחות הפועל עליו.

לכן, סך העבודה שנעשית בין הזמן $t_{1}$ לזמן $t_{2}$ היא $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}\cdot {\vec {v}}dt$ אך לפי החוק השני של ניוטון, ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$. על ידי הצבה נקבל:

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}m{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}dt$

משום ש- ${\frac {d}{dt}}{\vec {v}}^{2}=2{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}$ נקבל מהמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שהאינטגרל הוא פשוט השינוי בגודל הפונקציה הקדומה ${\frac {1}{2}}v^{2}$ ולכן נקבל

$W=\Delta {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}mv_{(t_{2})}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{(t_{1})}^{2}$

נשים לב שהנחנו שהמסה קבועה בזמן (ולכן יצאה כקבוע מהאינטגרל), הנחה שלא נכונה בתורת היחסות (כשהמסה עצמה נהיית תלויה במהירות) ולכן ההוכחה הזו לא תקפה בצורתה הנוכחית וצריך לערוך בה שינויים כדי לקבל את הגרסה הנכונה.

עבודה ושימור אנרגיה

כאשר הכוחות הפועלים במערכת משמרים, מתקבל ממשפט העבודה-אנרגיה (השינוי באנרגיה הקינטית שווה לעבודה) ומהתכונות של כוח-משמר (השינוי באנרגיה הפוטנציאלית שווה לעבודה בערך שלילי) שסכום האנרגיות (פוטנציאלית וקינטית) במערכת, נשמר.