קומפקטיפיקציה – הבדלי גרסאות
Bustan1498 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 4: | שורה 4: | ||
המתמטיקאי הרוסי [[פבל אלכסנדרוף|פבל אלכסנדרוב]] {{אנ|Pavel Alexandrov}} הראה שלכל מרחב טופולוגי (לא קומפקטי) יש קומפקטיפיקציה על ידי הוספה של נקודה אחת, שמסומנת לרוב "<math>\infty</math>" (נעיר שלעיתים קומפקטיפיקציה זו מכונה "קומפקטיפיקציית אלכסנדרוב" או "קומפקטיפיקציה חד-נקודתית"). הרעיון הוא להעתיק אל המרחב החדש את הטופולוגיה של המרחב הישן, ולהוסיף לאוסף הקבוצות הפתוחות את כל הקבוצות מהצורה <math>G \cup \{\infty\}</math> כאשר <math>G</math> קבוצה פתוחה של <math>X</math> ו-<math>X \setminus G</math> קומפקטית. כדוגמה נוספת, יש שתי דרכים טבעיות לשכן את [[המישור המרוכב]] במרחב קומפקטי. האחת, להוסיף לו את "הנקודה באינסוף", ולקבוע שכל [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] שה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של איבריה [[שואף לאינסוף]], מתכנסת אל הנקודה החדשה. זהו מקרה פרטי של הקומפקטיפיקציה של אלכסנדרוב, והמרחב המתקבל הוא [[הספירה של רימן]]. אפשרות שנייה היא להוסיף את "המעגל באינסוף", כלומר להוסיף למישור מעגל "מבחוץ", כשנקודות המעגל עומדות ב[[התאמה חד-חד-ערכית]] ל[[זווית|זוויות]] של ישרים. בדוגמה זו, סדרה מתכנסת לנקודה המתאימה לזווית <math>\theta</math> אם הערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, והיא [[אסימפטוטה|אסימפטוטית]] לישר שהזווית שלו <math>\theta</math>. המרחב המתקבל [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] ל[[מעגל היחידה]] הסגור. |
המתמטיקאי הרוסי [[פבל אלכסנדרוף|פבל אלכסנדרוב]] {{אנ|Pavel Alexandrov}} הראה שלכל מרחב טופולוגי (לא קומפקטי) יש קומפקטיפיקציה על ידי הוספה של נקודה אחת, שמסומנת לרוב "<math>\infty</math>" (נעיר שלעיתים קומפקטיפיקציה זו מכונה "קומפקטיפיקציית אלכסנדרוב" או "קומפקטיפיקציה חד-נקודתית"). הרעיון הוא להעתיק אל המרחב החדש את הטופולוגיה של המרחב הישן, ולהוסיף לאוסף הקבוצות הפתוחות את כל הקבוצות מהצורה <math>G \cup \{\infty\}</math> כאשר <math>G</math> קבוצה פתוחה של <math>X</math> ו-<math>X \setminus G</math> קומפקטית. כדוגמה נוספת, יש שתי דרכים טבעיות לשכן את [[המישור המרוכב]] במרחב קומפקטי. האחת, להוסיף לו את "הנקודה באינסוף", ולקבוע שכל [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] שה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של איבריה [[שואף לאינסוף]], מתכנסת אל הנקודה החדשה. זהו מקרה פרטי של הקומפקטיפיקציה של אלכסנדרוב, והמרחב המתקבל הוא [[הספירה של רימן]]. אפשרות שנייה היא להוסיף את "המעגל באינסוף", כלומר להוסיף למישור מעגל "מבחוץ", כשנקודות המעגל עומדות ב[[התאמה חד-חד-ערכית]] ל[[זווית|זוויות]] של ישרים. בדוגמה זו, סדרה מתכנסת לנקודה המתאימה לזווית <math>\theta</math> אם הערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, והיא [[אסימפטוטה|אסימפטוטית]] לישר שהזווית שלו <math>\theta</math>. המרחב המתקבל [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] ל[[מעגל היחידה]] הסגור. |
||
קומפקטיפיקציה אמנם "מתקנת" קבוצה להיות קומפקטית, אך עשויה "להרוס" תכונות שלה, כמו למשל האוסדורפיות שלה: <math>\mathbb{Q}</math> האוסדורף, אך הקומפקטיפיקציה החד-נקודתית שלו אינה האוסדורף. ניתן להראות שהקומפקטיפיקציה החד-מימדית של מרחב <math>X</math> היא האוסדורף אמ"מ <math>X</math> האוסדורף וקומפקטי מקומית. ואכן, <math>\mathbb{Q}</math> אינו קומפקטי מקומית. |
|||
תהליך דומה לקומפקטיפיקציה הוא [[השלמה של מרחב מטרי|השלמה]] של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]]. ההשלמה של מרחב מטרי חסום מהווה קומפקטיפיקציה שלו. |
תהליך דומה לקומפקטיפיקציה הוא [[השלמה של מרחב מטרי|השלמה]] של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]]. ההשלמה של מרחב מטרי חסום מהווה קומפקטיפיקציה שלו. |
||
גרסה מ־21:12, 17 בספטמבר 2020
בטופולוגיה, קומפקטיפיקציה של מרחב טופולוגי היא שיכון שלו בתוך מרחב קומפקטי באופן שהמרחב הראשון צפוף בשני. צעד זה מאפשר לֵהָנוֹת מהתכונות החזקות של המרחב הקומפקטי.
דוגמה: הקטע הסגור מהווה קומפקטיפיקציה של הקטע הפתוח , וגם של הישר הממשי כולו: בשני המקרים הקומפקטיפיקציה כוללת "המצאה" יש-מאין של נקודה חדשה, והדבקתה לשני הקצוות של המרחב הטופולוגי (קצוות "אמיתיים" במקרה הראשון, ו"מדומים" במקרה השני).
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
המתמטיקאי הרוסי פבל אלכסנדרוב (אנ') הראה שלכל מרחב טופולוגי (לא קומפקטי) יש קומפקטיפיקציה על ידי הוספה של נקודה אחת, שמסומנת לרוב "" (נעיר שלעיתים קומפקטיפיקציה זו מכונה "קומפקטיפיקציית אלכסנדרוב" או "קומפקטיפיקציה חד-נקודתית"). הרעיון הוא להעתיק אל המרחב החדש את הטופולוגיה של המרחב הישן, ולהוסיף לאוסף הקבוצות הפתוחות את כל הקבוצות מהצורה כאשר קבוצה פתוחה של ו- קומפקטית. כדוגמה נוספת, יש שתי דרכים טבעיות לשכן את המישור המרוכב במרחב קומפקטי. האחת, להוסיף לו את "הנקודה באינסוף", ולקבוע שכל סדרה שהערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, מתכנסת אל הנקודה החדשה. זהו מקרה פרטי של הקומפקטיפיקציה של אלכסנדרוב, והמרחב המתקבל הוא הספירה של רימן. אפשרות שנייה היא להוסיף את "המעגל באינסוף", כלומר להוסיף למישור מעגל "מבחוץ", כשנקודות המעגל עומדות בהתאמה חד-חד-ערכית לזוויות של ישרים. בדוגמה זו, סדרה מתכנסת לנקודה המתאימה לזווית אם הערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, והיא אסימפטוטית לישר שהזווית שלו . המרחב המתקבל הומיאומורפי למעגל היחידה הסגור.
קומפקטיפיקציה אמנם "מתקנת" קבוצה להיות קומפקטית, אך עשויה "להרוס" תכונות שלה, כמו למשל האוסדורפיות שלה: האוסדורף, אך הקומפקטיפיקציה החד-נקודתית שלו אינה האוסדורף. ניתן להראות שהקומפקטיפיקציה החד-מימדית של מרחב היא האוסדורף אמ"מ האוסדורף וקומפקטי מקומית. ואכן, אינו קומפקטי מקומית.
תהליך דומה לקומפקטיפיקציה הוא השלמה של מרחבים מטריים. ההשלמה של מרחב מטרי חסום מהווה קומפקטיפיקציה שלו.
ראו גם
לקריאה נוספת
- דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 7 (כרך ג'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.