קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־21:19, 17 בספטמבר 2020

בטופולוגיה, קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית ממרחב טופולוגי $X$ למרחב האוסדורף קומפקטי $\beta X$ , שיש לה חשיבות אפילו כאשר $X$ מרחב דיסקרטי. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך $\beta X$ של $X$ היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי $X$ , במובן שכל העתקה מ- $X$ למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך $\beta X$ . אם $X$ הוא מרחב רגולרי לחלוטין, אז תמונת $X$ ב- $\beta X$ הומיאומורפית ל- $X$ , וכך אפשר לחשוב על $X$ כתת-מרחב צפוף של $\beta X$ . במקרה הכללי, ההעתקה $X\rightarrow \beta X$ אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית.

אם מניחים את אקסיומת הבחירה, לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש- $\beta \mathbb {N} \neq \mathbb {N}$ אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של $\beta \mathbb {N}$ באופן ישיר.

אוניברסליות ופונקטוריאליות

המרחב $\beta X$ והפונקציה מ- $X$ אליו מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל פונקציה רציפה $\ f:X\rightarrow K$ , כאשר K מרחב האוסדורף קומפקטי, יש המשכה יחידה לפונקציה רציפה $\ \beta f:\beta X\rightarrow K$ . כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את $\ \beta X$ עד כדי הומיאומורפיזם.

ההעתקה $\ X\rightarrow \beta X$ היא חד-חד-ערכית (ולכן הומיאומורפיזם אל התמונה) אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה $\ X\rightarrow \beta X$ היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם X מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי $\ \beta$ הוא פונקטור מן הקטגוריה Top של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה CHaus של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב- $\ u:\operatorname {CHaus} \rightarrow \operatorname {Top}$ את פונקטור ההכלה. אז כל מורפיזם $\ \beta X\rightarrow K$ (עבור $\ K\in Obj(\operatorname {CHaus} )$ ) מתאים באופן יחיד למורפיזם $\ X\rightarrow uK$ (באמצעות צמצום ל-X ותכונת האוניברסליות), כלומר $\ Hom(\beta X,K)=Hom(X,uK)$ . היינו, הפונקטור $\ \beta$ הוא פונקטור צמוד משמאל ל- $\ u$ .

בניה

אם X מרחב דיסקרטי, אפשר לבנות את $\ \beta X$ כמרחב כל העל-מסננים על X, עם טופולוגיית סטון. אברי X מתאימים למסננים הראשיים. ידועות גם בניות אחרות, המתאימות למרחב טופולוגי כללי.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של חבורה למחצה

אם S חבורה למחצה דיסקרטית, יש המשכה יחידה של הפעולה מ-S ל- $\ \beta S$ כך שהכפל מימין בכל איבר הוא רציף, והכפל משמאל בכל איבר של S הוא רציף. המשכה זו היא אסוציאטיבית. מתברר ש- $\ \beta S$ אוניברסלי כחבורה למחצה קומפקטית והאוסדורף (כלומר ביחס להומומורפיזמים רציפים). אם $\ S\subseteq T$ חבורות למחצה דיסקרטיות, אז $\ \beta S\subseteq \beta T$ גם היא תת-חבורה למחצה.

המרכז הטופולוגי של $\ \beta S$ (הכולל, בהגדרה, את האיברים שהכפל משמאל בהם רציף) שווה למרכז האלגברי. אם S חבורה למחצה אינסופית ובעלת צמצום מימין או משמאל, אז $\ S^{*}=\beta S-S$ הוא אידיאל ימני או שמאלי, בהתאמה.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של המספרים הטבעיים (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) היא אובייקט נחקר ובעל חשיבות בתורת הקבוצות. גם המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים משך תשומת לב לא מבוטלת בהקשר זה. אלא שהמבנה האלגברי של הקומפקטיפיקציות $\ \beta \mathbb {N}$ ו- $\ \beta \mathbb {Z}$ סבוך להפליא. למשל, במרכזים של $\ (\beta \mathbb {N} ,+)$ , $\ (\beta \mathbb {N} ,\cdot )$ ו- $\ (\beta \mathbb {Z} ,+)$ אין אף איבר שאינו שייך לקבוצה המקורית (הטבעיים בשני המקרים הראשונים, השלמים באחרון). ב- $\ \beta \mathbb {Z}$ כמעט ואין שלשות המקיימות את החוק הדיסטריבוטיבי.

מקורות

Hindman and Strauss, Algebra in the Stone-Cech compacification, 2nd ed, 2012. (mostly chapters 4 and 6).

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-ב[[טופולוגיה]], '''קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך''' היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית מ[[מרחב טופולוגי]] X ל[[מרחב האוסדורף]] [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]]  <math>\ \beta X</math>, שיש לה חשיבות אפילו כאשר X [[טופולוגיה דיסקרטית|מרחב דיסקרטי]]. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך <math>\ \beta X</math> של X היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי X, במובן שכל העתקה מ-X למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך <math>\ \beta X</math>. אם X הוא [[מרחב רגולרי לחלוטין]], אז תמונת X ב-<math>\ \beta X</math> הומיאומורפית ל-X, וכך אפשר לחשוב על X כ[[קבוצה צפופה|תת-מרחב צפוף]] של <math>\ \beta X</math>. במקרה הכללי, ההעתקה <math>\ X \rightarrow \beta X</math> אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית.
+ב[[טופולוגיה]], '''קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך''' היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית מ[[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> ל[[מרחב האוסדורף]] [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]] <math>\beta X</math>, שיש לה חשיבות אפילו כאשר <math>X</math> [[טופולוגיה דיסקרטית|מרחב דיסקרטי]]. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך <math>\beta X</math> של <math>X</math> היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי <math>X</math>, במובן שכל העתקה מ-<math>X</math> למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך <math>\beta X</math>. אם <math>X</math> הוא [[מרחב רגולרי לחלוטין]], אז תמונת <math>X</math> ב-<math>\beta X</math> הומיאומורפית ל-<math>X</math>, וכך אפשר לחשוב על <math>X</math> כ[[קבוצה צפופה|תת-מרחב צפוף]] של <math>\beta X</math>. במקרה הכללי, ההעתקה <math>X \rightarrow \beta X</math> אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית.
-אם מניחים את [[אקסיומת הבחירה]], לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש-<math>\ \beta \mathbb{N} \neq \mathbb{N}</math> אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של <math>\ \beta \mathbb{N}</math> באופן ישיר.
+אם מניחים את [[אקסיומת הבחירה]], לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש-<math>\beta \mathbb{N} \neq \mathbb{N}</math> אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של <math>\beta \mathbb{N}</math> באופן ישיר.
 == אוניברסליות ופונקטוריאליות ==
-המרחב <math>\ \beta X</math> והפונקציה מ-X אליו מקיימים את ה[[תכונה אוניברסלית|תכונה האוניברסלית]] הבאה: לכל [[פונקציה רציפה]] <math>\ f:X \rightarrow K</math>, כאשר K מרחב האוסדורף קומפקטי, יש המשכה יחידה לפונקציה רציפה <math>\ \beta f: \beta X \rightarrow K</math>. כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את <math>\ \beta X</math> [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] [[הומיאומורפיזם]].
+המרחב <math>\beta X</math> והפונקציה מ-<math>X</math> אליו מקיימים את ה[[תכונה אוניברסלית|תכונה האוניברסלית]] הבאה: לכל [[פונקציה רציפה]] <math>\ f:X \rightarrow K</math>, כאשר K מרחב האוסדורף קומפקטי, יש המשכה יחידה לפונקציה רציפה <math>\ \beta f: \beta X \rightarrow K</math>. כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את <math>\ \beta X</math> [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] [[הומיאומורפיזם]].
 ההעתקה <math>\ X \rightarrow \beta X</math> היא חד-חד-ערכית (ולכן הומיאומורפיזם אל התמונה) אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה <math>\ X \rightarrow \beta X</math> היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם X מרחב האוסדורף [[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטי מקומית]]. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי <math>\ \beta</math> הוא [[פונקטור]] מן הקטגוריה ''Top'' של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה ''CHaus'' של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב-<math>\ u :  \operatorname{CHaus}\rightarrow \operatorname{Top}</math> את פונקטור ההכלה. אז כל מורפיזם <math>\ \beta X\rightarrow K</math> (עבור <math>\ K \in Obj(\operatorname{CHaus})</math>) מתאים באופן יחיד למורפיזם <math>\ X \rightarrow uK</math> (באמצעות צמצום ל-X ותכונת האוניברסליות), כלומר <math>\ Hom(\beta X, K) = Hom(X,uK)</math>. היינו, הפונקטור <math>\ \beta</math> הוא [[פונקטור צמוד]] משמאל ל-<math>\ u</math>.