מרחב האוסדורף – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־22:19, 17 בספטמבר 2020

בטופולוגיה, מרחב האוסדורף הוא מרחב טופולוגי שבו ניתן להפריד בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות זרות. כלומר, נאמר שמרחב $X$ הוא האוסדורף אם לכל שתי נקודות $x,y\in X$ קיימות סביבה פתוחה $U$ של $x$ וסביבה פתוחה $V$ של $y$ כך ש- $U,V$ זרות. מרחבי האוסדורף קרויים על-שם המתמטיקאי פליקס האוסדורף. הם נקראים גם מרחבי $T_{2}$ , על-פי עוצמתה של אקסיומת ההפרדה שהם מקיימים.

דוגמאות

כל המרחבים המטריים הם מרחבי האוסדורף (ויותר מזה: הם נורמליים).

מישור מור הוא דוגמה למרחב טופולוגי ספרבילי המקיים את תכונת האוסדורף, שאינו קומפקטי מקומית ואינו נורמלי. הטופולוגיה הקו-סופית (על קבוצה אינסופית) מגדירה מרחב שאינו האוסדורף, שכן כל קבוצה פתוחה לא-ריקה כוללת את כל הנקודות ב- $X$ פרט למספר סופי, ולכן אין שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות וזרות.

התכנסות במרחבי האוסדורף

במרחב האוסדורף מתקיימת תכונת ההפרדה הראשונה, שלפיה כל נקודה $p$ היא קבוצה סגורה. אכן, לכל נקודה אחרת יש קבוצה פתוחה שאינה מכילה את p. איחוד כל הקבוצות האלו נותן את המשלים של $p$ . מאחר שזהו איחוד של קבוצות פתוחות, מתקבלת קבוצה פתוחה. והמשלים שלה הוא $\{p\}$ . המשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, כנדרש.

יותר מזה: לכל סדרה מתכנסת במרחב האוסדורף יש גבול יחיד, שהרי אילו $x,y$ היו נקודות גבול שונות לאותה סדרה, אז כל סביבה שלהן הייתה צריכה להכיל כמעט את כל אברי הסדרה, וזה בלתי אפשרי ברגע שבוחרים סביבות זרות. במרחב שאינו האוסדורף יכולה סדרה להתכנס ליותר מגבול אחד. למשל, במרחב (אינסופי) עם הטופולוגיה הקו-סופית, סדרה שכל אבריה שונים זה מזה מתכנסת לכל נקודה (משום שכל קבוצה פתוחה כוללת כמעט את כל האיברים). משום כך, מושג הגבול של סדרות שימושי בעיקר במרחבי האוסדורף. מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא מרחב-US.

מרחבי האוסדורף מקיימים תכונה עוד יותר חזקה: כל מרחב האוסדורף הוא מרחב-KC.^[1] כל מרחב-KC הוא מרחב-US, וכל מרחב-US מקיים את תכונת ההפרדה T1. בין מרחבים המקיימים את אקסיומת המניה הראשונה, מחלקות המרחבים שהם האוסדורף, KC ו-US מתלכדות. העובדה שתכונות אלה נבדלות במקרה הכללי, מראה שסדרות מתכנסות אינן יכולות ללכוד את המבנה הטופולוגי באופן כללי, ולכן נדרשת הכללה לרשתות.

קישורים חיצוניים

מרחב האוסדורף, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
מרחב האוסדורף, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ מרחב-KC הוא מרחב טופולוגי שבו כל קבוצה קומפקטית היא סגורה

[1] מרחב-KC הוא מרחב טופולוגי שבו כל קבוצה קומפקטית היא סגורה

[1]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-ב[[טופולוגיה]], '''מרחב האוסדורף''' הוא [[מרחב טופולוגי]] שבו ניתן להפריד בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות, כלומר, לכל שתי נקודות במרחב יש [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] [[קבוצה פתוחה|פתוחות]] ו[[קבוצות זרות|זרות]]. מרחבי האוסדורף קרויים על-שם המתמטיקאי [[פליקס האוסדורף]]. הם נקראים גם מרחבי <math>T_2</math>, על-פי עוצמתה של [[אקסיומות ההפרדה|אקסיומת ההפרדה]] שהם מקיימים.
+ב[[טופולוגיה]], '''מרחב האוסדורף''' הוא [[מרחב טופולוגי]] שבו ניתן להפריד בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות זרות. כלומר, נאמר שמרחב <math>X</math> הוא האוסדורף אם לכל שתי נקודות <math>x,y \in X</math> קיימות סביבה פתוחה <math>U</math> של <math>x</math> וסביבה פתוחה <math>V</math> של <math>y</math> כך ש-<math>U,V</math> זרות. מרחבי האוסדורף קרויים על-שם המתמטיקאי [[פליקס האוסדורף]]. הם נקראים גם מרחבי <math>T_2</math>, על-פי עוצמתה של [[אקסיומות ההפרדה|אקסיומת ההפרדה]] שהם מקיימים.
 ==דוגמאות==
@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 כל ה[[מרחב מטרי|מרחבים המטריים]] הם מרחבי האוסדורף (ויותר מזה: הם [[מרחב נורמלי|נורמליים]]).
-[[מישור מור]] הוא דוגמה ל[[מרחב טופולוגי]] [[מרחב ספרבילי|ספרבילי]] המקיים את תכונת האוסדורף, שאינו [[קומפקטיות מקומית|קומפקטי מקומית]] ואינו [[מרחב נורמלי|נורמלי]]. ה[[טופולוגיה קו-סופית|טופולוגיה הקו-סופית]] (על קבוצה אינסופית) מגדירה מרחב שאינו האוסדורף, שכן כל קבוצה פתוחה לא-ריקה כוללת את כל הנקודות ב-X פרט למספר סופי, ולכן אין שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות וזרות.
+[[מישור מור]] הוא דוגמה ל[[מרחב טופולוגי]] [[מרחב ספרבילי|ספרבילי]] המקיים את תכונת האוסדורף, שאינו [[קומפקטיות מקומית|קומפקטי מקומית]] ואינו [[מרחב נורמלי|נורמלי]]. ה[[טופולוגיה קו-סופית|טופולוגיה הקו-סופית]] (על קבוצה אינסופית) מגדירה מרחב שאינו האוסדורף, שכן כל קבוצה פתוחה לא-ריקה כוללת את כל הנקודות ב-<math>X</math> פרט למספר סופי, ולכן אין שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות וזרות.
 ==התכנסות במרחבי האוסדורף==
-במרחב האוסדורף מתקיימת [[תכונת ההפרדה T1|תכונת ההפרדה הראשונה]], שלפיה כל נקודה p היא קבוצה סגורה. אכן, לכל נקודה אחרת יש קבוצה פתוחה שאינה מכילה את p. איחוד כל הקבוצות האלו נותן את המשלים של p. מאחר שזהו איחוד של קבוצות פתוחות, מתקבלת קבוצה פתוחה. והמשלים שלה הוא {p}. המשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, כנדרש.
+במרחב האוסדורף מתקיימת [[תכונת ההפרדה T1|תכונת ההפרדה הראשונה]], שלפיה כל נקודה <math>p</math> היא קבוצה סגורה. אכן, לכל נקודה אחרת יש קבוצה פתוחה שאינה מכילה את p. איחוד כל הקבוצות האלו נותן את המשלים של <math>p</math>. מאחר שזהו איחוד של קבוצות פתוחות, מתקבלת קבוצה פתוחה. והמשלים שלה הוא <math>\{p\}</math>. המשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, כנדרש.
-יותר מזה: לכל [[סדרה מתכנסת]] במרחב האוסדורף יש [[גבול (טופולוגיה)|גבול]] יחיד, שהרי אילו x,y היו נקודות גבול שונות לאותה סדרה, אז כל סביבה שלהן הייתה צריכה להכיל [[כמעט כל|כמעט את כל]] אברי הסדרה, וזה בלתי אפשרי ברגע שבוחרים סביבות זרות. במרחב שאינו האוסדורף יכולה סדרה להתכנס ליותר מגבול אחד. למשל, במרחב (אינסופי) עם הטופולוגיה ה[[טופולוגיה קו-סופית|קו-סופית]], סדרה שכל אבריה שונים זה מזה מתכנסת לכל נקודה (משום שכל קבוצה פתוחה כוללת כמעט את כל האיברים). משום כך, מושג הגבול של סדרות שימושי בעיקר במרחבי האוסדורף. מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא '''מרחב-US'''.
+יותר מזה: לכל [[סדרה מתכנסת]] במרחב האוסדורף יש [[גבול (טופולוגיה)|גבול]] יחיד, שהרי אילו <math>x,y</math> היו נקודות גבול שונות לאותה סדרה, אז כל סביבה שלהן הייתה צריכה להכיל [[כמעט כל|כמעט את כל]] אברי הסדרה, וזה בלתי אפשרי ברגע שבוחרים סביבות זרות. במרחב שאינו האוסדורף יכולה סדרה להתכנס ליותר מגבול אחד. למשל, במרחב (אינסופי) עם הטופולוגיה ה[[טופולוגיה קו-סופית|קו-סופית]], סדרה שכל אבריה שונים זה מזה מתכנסת לכל נקודה (משום שכל קבוצה פתוחה כוללת כמעט את כל האיברים). משום כך, מושג הגבול של סדרות שימושי בעיקר במרחבי האוסדורף. מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא '''מרחב-US'''.
-מרחבי האוסדורף מקיימים תכונה עוד יותר חזקה: כל מרחב האוסדורף הוא '''מרחב-KC'''{{הערה|מרחב-KC הוא מרחב טופולוגי שבו כל [[קבוצה קומפקטית]] היא [[קבוצה סגורה|סגורה]]}}. כל מרחב-KC הוא מרחב-US, וכל מרחב-US מקיים את [[תכונת ההפרדה T1]]. בין מרחבים המקיימים את [[אקסיומת המניה הראשונה]], מחלקות המרחבים שהם האוסדורף, KC ו-US מתלכדות. העובדה שתכונות אלה נבדלות במקרה הכללי, מראה שסדרות מתכנסות אינן יכולות ללכוד את המבנה הטופולוגי באופן כללי, ולכן נדרשת הכללה ל[[רשת (טופולוגיה)|רשת]]ות.
+מרחבי האוסדורף מקיימים תכונה עוד יותר חזקה: כל מרחב האוסדורף הוא '''מרחב-KC.'''{{הערה|מרחב-KC הוא מרחב טופולוגי שבו כל [[קבוצה קומפקטית]] היא [[קבוצה סגורה|סגורה]]}} כל מרחב-KC הוא מרחב-US, וכל מרחב-US מקיים את [[תכונת ההפרדה T1]]. בין מרחבים המקיימים את [[אקסיומת המניה הראשונה]], מחלקות המרחבים שהם האוסדורף, KC ו-US מתלכדות. העובדה שתכונות אלה נבדלות במקרה הכללי, מראה שסדרות מתכנסות אינן יכולות ללכוד את המבנה הטופולוגי באופן כללי, ולכן נדרשת הכללה ל[[רשת (טופולוגיה)|רשת]]ות.
 ==קישורים חיצוניים==

טופולוגיה קבוצתית
מושגי יסוד	מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם
בתוך המרחב	קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי
תכונות של מרחבים טופולוגיים
אקסיומות ההפרדה	T₀ • ‏ T₁ • ‏ T₂ (מרחב האוסדורף) • T_2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T₃ (מרחב רגולרי) • T_3.5 • ‏ T₄ (מרחב נורמלי) • T₅ • ‏ T₆ • מרחב מטריזבילי
אקסיומות המנייה	С₁ • ‏ С₂ • מרחב ספרבילי
קומפקטיות	קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי
תכונות נוספות	מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני
ק
בניות	מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • קומפקטיפיקציה (קומפקטיפיקציה חד-נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה
משפטים	הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר
דוגמאות	קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי
שונות	טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי
נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה