פונקציה חד-חד-ערכית ועל – הבדלי גרסאות
יוניון ג'ק (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
יוניון ג'ק (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
{{סימון מתמטי}} |
{{סימון מתמטי}} |
||
| ⚫ | |||
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה חד-חד-ערכית ועל''' היא [[פונקציה]] שמתקיימות בה שתי תכונות: |
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה חד-חד-ערכית ועל''' היא [[פונקציה]] שמתקיימות בה שתי תכונות: |
||
* היא [[פונקציה חד-חד-ערכית]]. |
* היא [[פונקציה חד-חד-ערכית]]. |
||
| שורה 7: | שורה 6: | ||
==ניסוח פורמלי== |
==ניסוח פורמלי== |
||
פונקציה <math>f:X\rarr Y</math>, מהקבוצה <math>X</math> לקבוצה <math>Y</math>, היא חד-חד-ערכית ועל, אם לכל <math>b\in Y</math> קיים <math>a\in X</math> יחיד כך ש-<math>f(a) = b</math>. |
פונקציה <math>f:X\rarr Y</math>, מהקבוצה <math>X</math> לקבוצה <math>Y</math>, היא חד-חד-ערכית ועל, אם לכל <math>b\in Y</math> קיים <math>a\in X</math> יחיד כך ש-<math>f(a) = b</math>. |
||
{{-}} |
|||
== |
==דוגמאות== |
||
| ⚫ | |||
הפונקציה <math>y=x^3</math> היא חד-חד-ערכית ועל בתחום <math>f:[-1, 1] \rightarrow [-1, 1]</math>, משום שכל ערך של y בטווח <math>[-1,1]</math> מופיע בדיוק פעם אחת. |
הפונקציה <math>y=x^3</math> היא חד-חד-ערכית ועל בתחום <math>f:[-1, 1] \rightarrow [-1, 1]</math>, משום שכל ערך של y בטווח <math>[-1,1]</math> מופיע בדיוק פעם אחת. |
||
{{-}} |
|||
==תכונות ושימושים== |
==תכונות ושימושים== |
||
אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצות <math>X</math> ו-<math>Y</math> נקראות "[[קבוצות שקולות|שקולות]]" והן בעלות אותה [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]]. פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל [[אם ורק אם]] היא [[פונקציה הפיכה|הפיכה]], ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא [[יחס סימטרי]]. |
אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצות <math>X</math> ו-<math>Y</math> נקראות "[[קבוצות שקולות|שקולות]]" והן בעלות אותה [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]]. פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל [[אם ורק אם]] היא [[פונקציה הפיכה|הפיכה]], ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא [[יחס סימטרי]]. |
||
גרסה מ־02:11, 21 בספטמבר 2020
בערך זה |
במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא פונקציה שמתקיימות בה שתי תכונות:
- היא פונקציה חד-חד-ערכית.
- היא פונקציה על.
ניסוח פורמלי
פונקציה , מהקבוצה לקבוצה , היא חד-חד-ערכית ועל, אם לכל קיים יחיד כך ש-.
דוגמאות
הפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל בתחום , משום שכל ערך של y בטווח מופיע בדיוק פעם אחת.
![{\displaystyle f:[-1,1]\rightarrow [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1686b1822c090c00110c9f2c0bab4487beab3a6)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
תכונות ושימושים
אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצות ו- נקראות "שקולות" והן בעלות אותה עוצמה. פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא יחס סימטרי.
אם על הקבוצות מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.
פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה. אוסף התמורות על קבוצה הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה. לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים. פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צופנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
- פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר MathWorld (באנגלית)
