גרף של פונקציה

גרף של פונקציה הוא אוסף כל הזוגות של משתנה מסוים עם ערך הפונקציה המתאים לו, עבור פונקציה מסוימת. לרוב הכוונה היא לציור של אוסף זה בתור נקודות במישור לפי מערכת צירים קרטזית, אולם צורת הצגה זו אפשרית רק עבור פונקציות ממשיות במשתנה יחיד; עם זאת, מושג הגרף קיים גם עבור פונקציות במספר משתנים.

הגדרה פורמלית

בהינתן פונקציה $\ f$ שתחומה $\ D$, גרף הפונקציה היא הקבוצה של הזוגות הסדורים $\ \left\{(x,f(x))|x\in D\right\}$.

נשים לב כי עבור פונקציה ממשית ב- $\ n$ משתנים, גרף הפונקציה הוא תת קבוצה של המרחב האוקלידי $\ \mathbb {R} ^{n+1}$. המקרה הפרטי המוכר הוא זה של פונקציה במשתנה יחיד, אז הגרף הוא תת קבוצה של המישור - $\ \mathbb {R} ^{2}$.

דוגמאות

דוגמה לשרטוט גרף של פונקציה $\ f(x)=x^{3}-9x$

• ישר - גרף שמייצג פולינום ממעלה ראשונה ($\ y=mx+n$) שיפועו, כלומר טנגנס הזווית שלו עם ציר ה-$\ X$, הוא $\ m$ והוא חותך את ציר ה-$\ Y$ בנקודה $\ n$.
• פרבולה - מייצגת פולינום ממעלה שנייה. נראת כמעין קשת מתרחבת ($\ y=ax^{2}+bx+c$ כאשר a אינו אפס) אם $\ a$ חיובי הפרבולה פתוחה כלפי מעלה (כלומר קמורה) ואם הוא שלילי, אז היא פתוחה כלפי מטה (קעורה).

נקודות מיוחדות על גרפים של פונקציות ממשיות:

• מינימום ומקסימום - הנקודות הגבוהות והנמוכות ביותר בגרף, או לפחות בסביבה כלשהי של הנקודה, כלומר ערכי ה-$\ y$ הגדולים והקטנים ביותר יחסית לסביבתם בהתאמה. אם הפונקציה גזירה בנקודות אלו - הנגזרת תתאפס.
• נקודת פיתול - נקודת מעבר מקמירות לקעירות.
• נקודות אפס - כאשר הגרף חותך את ציר ה-X.