סגור (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה, עריכת נוסחאות |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
==הגדרה פורמלית== |
==הגדרה פורמלית== |
||
יהא <math>X</math> מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא <math>S\subseteq X</math> קבוצה. אם <math>\Lambda</math> היא קבוצת הקבוצות הסגורות <math>A</math> המקיימות <math>S\subseteq A\subseteq X</math>, אז ה'''סגור''' של <math>S</math> יסומן <math>\mbox{Cl}(S)</math> או <math>\ |
יהא <math>X</math> מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא <math>S\subseteq X</math> קבוצה. אם <math>\Lambda</math> היא קבוצת הקבוצות הסגורות <math>A</math> המקיימות <math>S\subseteq A\subseteq X</math>, אז ה'''סגור''' של <math>S</math> יסומן <math>\mbox{Cl}(S)</math> או <math>\overline{S}</math>, ויוגדר על ידי: |
||
::<math>\overline{S} = \mbox{Cl}(S)=\bigcap_{A\isin\Lambda}A</math>. |
::<math>\overline{S} = \mbox{Cl}(S)=\bigcap_{A\isin\Lambda}A</math>. |
||
גרסה מ־05:33, 11 באוקטובר 2020
בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה השייכת למרחב הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את . מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה .
הגדרה פורמלית
יהא מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא קבוצה. אם היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות , אז הסגור של יסומן או , ויוגדר על ידי:
- .
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
- היא קבוצת כל האיברים של שבכל סביבה שלהם קיים איבר של (לא בהכרח שונה מהם).
- , כאשר היא הקבוצה הנגזרת של .
- הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: .
דוגמאות
- הסגור של הקטע הפתוח הוא הקטע הסגור .
- הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים הוא הישר הממשי כולו .
תכונות הנוגעות לסגור
- כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן .
- .
- .
- .
- היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל בתחום שלה מתקיים . בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
- אם קבוצה קשירה, לכל מתקיים שגם קבוצה קשירה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה צפופה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה דלילה.
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.