סגור (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Bustan1498 (שיחה | תרומות) ←תכונות הנוגעות לסגור: בפרט |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 21: | שורה 21: | ||
*<math>\mbox{Cl}\left(A\cap B\right)\subseteq \mbox{Cl}(A)\cap \mbox{Cl}(B)</math>. |
*<math>\mbox{Cl}\left(A\cap B\right)\subseteq \mbox{Cl}(A)\cap \mbox{Cl}(B)</math>. |
||
*<math>\mbox{Cl}\left(A\cup B\right)= \mbox{Cl}(A)\cup \mbox{Cl}(B)</math>. |
*<math>\mbox{Cl}\left(A\cup B\right)= \mbox{Cl}(A)\cup \mbox{Cl}(B)</math>. |
||
*<math>f</math> היא [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] אם ורק אם לכל <math>A</math> |
*<math>f</math> היא [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] אם ורק אם לכל <math>A</math> בתחום שלה מתקיים <math>f\left(\mbox{Cl}(A)\right)\subseteq \mbox{Cl}\left(f(A)\right)</math>. |
||
* אם <math>A</math> [[קשירות (טופולוגיה)|קבוצה קשירה]], לכל <math>A\subseteq B\subseteq \mbox{Cl}(A)</math> מתקיים שגם <math>B</math> קבוצה קשירה. בפרט הסגור של קבוצה קשירה גם הוא קשיר. |
* אם <math>A</math> [[קשירות (טופולוגיה)|קבוצה קשירה]], לכל <math>A\subseteq B\subseteq \mbox{Cl}(A)</math> מתקיים שגם <math>B</math> קבוצה קשירה. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה גם הוא קשיר. |
||
*קבוצה <math>A</math> במרחב <math>X</math> המקיימת <math>\mbox{Cl}(A)=X</math> נקראת [[קבוצה צפופה]]. |
*קבוצה <math>A</math> במרחב <math>X</math> המקיימת <math>\mbox{Cl}(A)=X</math> נקראת [[קבוצה צפופה]]. |
||
*קבוצה <math>A</math> במרחב <math>X</math> המקיימת <math>\mbox{Int}\left(\mbox{Cl}(A)\right)=\emptyset</math> נקראת [[קבוצה דלילה]]. |
*קבוצה <math>A</math> במרחב <math>X</math> המקיימת <math>\mbox{Int}\left(\mbox{Cl}(A)\right)=\emptyset</math> נקראת [[קבוצה דלילה]]. |
גרסה מ־05:58, 11 באוקטובר 2020
בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה השייכת למרחב הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את . מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה .
הגדרה פורמלית
יהא מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא קבוצה. אם היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות (כלומר, קבוצת הקבוצות הסגורות המכילות את ), אז הסגור של יסומן או , ויוגדר על ידי:
- .
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
- היא קבוצת כל האיברים של שבכל סביבה שלהם קיים איבר של (לא בהכרח שונה מהם).
- , כאשר היא הקבוצה הנגזרת של .
- הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: .
דוגמאות
- הסגור של הקטע הפתוח הוא הקטע הסגור .
- הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים הוא הישר הממשי כולו .
תכונות הנוגעות לסגור
- כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן .
- .
- .
- .
- היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל בתחום שלה מתקיים .
- אם קבוצה קשירה, לכל מתקיים שגם קבוצה קשירה. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה גם הוא קשיר.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה צפופה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה דלילה.
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.