אי-שוויון ברנולי – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←‏פתיח: עקב המקף
שורה 1: שורה 1:
[[תמונה:Bernoulli inequality.svg|שמאל|ממוזער|150px|המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3]]
[[תמונה:Bernoulli inequality.svg|שמאל|ממוזער|150px|המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3]]


'''אי-שוויון ברנולי''' הוא [[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי-השוויון]] <math>\ (1+x)^n\geq 1+nx</math>לכל מספר שלם <math>\ n\geq 0</math> ולכל [[מספר ממשי]] <math>\ x>-1</math>. אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי ב[[אנליזה מתמטית]]. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה <math>\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> עולה בזמן שהסדרה <math>\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> יורדת, וכך להגדיר את [[e (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]], <math>\ e=2.718...</math>, כ[[גבול (מתמטיקה)|גבולן]] המשותף.
'''אי-שוויון ברנולי''' הוא [[אי-שוויון (מתמטיקה)|האי-שוויון]] <math>\ (1+x)^n\geq 1+nx</math>לכל מספר שלם <math>\ n\geq 0</math> ולכל [[מספר ממשי]] <math>\ x>-1</math>. אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי ב[[אנליזה מתמטית]]. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה <math>\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> עולה בזמן שהסדרה <math>\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> יורדת, וכך להגדיר את [[e (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]], <math>\ e=2.718...</math>, כ[[גבול (מתמטיקה)|גבולן]] המשותף.


== תחולה ==
== תחולה ==

גרסה מ־17:20, 7 בנובמבר 2020

המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3

אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון לכל מספר שלם ולכל מספר ממשי . אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה עולה בזמן שהסדרה יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, , כגבולן המשותף.

תחולה

אי השוויון נכון לכל ממשי, ובלבד ש- (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל , וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה

עבור x>0 אפשר להוכיח במהירות על פי נוסחת הבינום של ניוטון: .

את המקרה הכללי (היינו x>-1) ניתן להוכיח באינדוקציה:

בסיס: ואכן מתקיים ש: כלומר: .

הנחה: נניח את נכונות הטענה עבור כלשהו, כלומר נניח ש: , נשים לב לכך שמכיוון ש- אז: , ולכן ניתן לכפול את שני אגפי האי-שוויון של ההנחה ולקבל ש: כלומר:

צעד: צריך להוכיח את נכונות הטענה עבור כלומר צריך להוכיח ש-, כלומר: , אבל מתוך הנחת האינדוקציה הראינו כי: , הביטוי חיובי (כי וגם ) ולכן ממילא מתקיים ש-.

הכללה

לכל חזקה ממשית ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל ולכל

ועבור כל

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון ברנולי בוויקישיתוף