[[תמונה:Bernoulli inequality.svg|שמאל|ממוזער|150px|המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3]]
[[תמונה:Bernoulli inequality.svg|שמאל|ממוזער|150px|המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3]]
'''אי-שוויון ברנולי''' הוא [[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי-השוויון]] <math>\ (1+x)^n\geq 1+nx</math>לכל מספר שלם <math>\ n\geq 0</math> ולכל [[מספר ממשי]] <math>\ x>-1</math>. אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי ב[[אנליזה מתמטית]]. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה <math>\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> עולה בזמן שהסדרה <math>\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> יורדת, וכך להגדיר את [[e (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]], <math>\ e=2.718...</math>, כ[[גבול (מתמטיקה)|גבולן]] המשותף.
'''אי-שוויון ברנולי''' הוא [[אי-שוויון (מתמטיקה)|האי-שוויון]] <math>\ (1+x)^n\geq 1+nx</math>לכל מספר שלם <math>\ n\geq 0</math> ולכל [[מספר ממשי]] <math>\ x>-1</math>. אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי ב[[אנליזה מתמטית]]. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה <math>\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> עולה בזמן שהסדרה <math>\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> יורדת, וכך להגדיר את [[e (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]], <math>\ e=2.718...</math>, כ[[גבול (מתמטיקה)|גבולן]] המשותף.
אי השוויון נכון לכל ממשי, ובלבד ש- (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל , וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).
את המקרה הכללי (היינו x>-1) ניתן להוכיח באינדוקציה:
בסיס: ואכן מתקיים ש: כלומר: .
הנחה: נניח את נכונות הטענה עבור כלשהו, כלומר נניח ש: , נשים לב לכך שמכיוון ש- אז: , ולכן ניתן לכפול את שני אגפי האי-שוויון של ההנחה ולקבל ש: כלומר:
צעד: צריך להוכיח את נכונות הטענה עבור כלומר צריך להוכיח
ש-, כלומר: , אבל מתוך הנחת האינדוקציה הראינו כי: , הביטוי חיובי (כי וגם ) ולכן ממילא מתקיים ש-.
הכללה
לכל חזקה ממשית ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל ולכל