מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
שורה 27:
שורה 27:
[[category:טופולוגיה]]
[[category:טופולוגיה]]
{{נבדק}}
גרסה מ־17:00, 26 במרץ 2005
בטופולוגיה , סגור של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.
הגדרה פורמלית
יהא
X
{\displaystyle \!\,X}
מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא
S
⊆
X
{\displaystyle \!\,S\subseteq X}
קבוצה. אם
Λ
{\displaystyle \!\,\Lambda }
היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות
S
⊆
A
⊆
X
{\displaystyle \!\,S\subseteq A\subseteq X}
, אז הסגור של
S
{\displaystyle \!\,S}
יסומן
C
l
(
S
)
{\displaystyle \!\,Cl(S)}
או
S
¯
{\displaystyle \!\,{\bar {S}}}
, ויוגדר על ידי
C
l
(
S
)
=
⋂
A
∈
Λ
A
{\displaystyle \!\,Cl(S)=\bigcap _{A\in \Lambda }A}
.
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
C
l
(
S
)
{\displaystyle \!\,Cl(S)}
היא קבוצת כל האיברים של
X
{\displaystyle \!\,X}
שבכל סביבה שלהם קיים איבר של
S
{\displaystyle \!\,S}
(לא בהכרח שונה מהם).
C
l
(
S
)
=
S
∪
S
′
{\displaystyle \!\,Cl(S)=S\cup S'}
, כאשר
S
′
{\displaystyle \!\,S'}
היא קבוצת כל נקודות ההצטברות של
S
{\displaystyle \!\,S}
.
הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה:
C
l
(
A
)
=
(
I
n
t
(
A
C
)
)
C
{\displaystyle \!\,Cl(A)=\left(Int(A^{C})\right)^{C}}
.
תכונות הנוגעות לסגור
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים
כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה:
A
=
C
l
(
A
)
{\displaystyle \!\,A=Cl(A)}
. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן
C
l
(
A
)
=
C
l
(
C
l
(
A
)
)
{\displaystyle \!\,Cl(A)=Cl\left(Cl(A)\right)}
.
A
⊆
B
⇒
C
l
(
A
)
⊆
C
l
(
B
)
{\displaystyle \!\,A\subseteq B\Rightarrow Cl(A)\subseteq Cl(B)}
.
C
l
(
A
∩
B
)
⊆
C
l
(
A
)
∩
C
l
(
B
)
{\displaystyle \!\,Cl\left(A\cap B\right)\subseteq Cl(A)\cap Cl(B)}
.
C
l
(
A
∪
B
)
=
C
l
(
A
)
∪
C
l
(
B
)
{\displaystyle \!\,Cl\left(A\cup B\right)=Cl(A)\cup Cl(B)}
.
f
{\displaystyle \!\,f}
היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל
A
{\displaystyle \!\,A}
בתחום שלה מתקיים
f
(
C
l
(
A
)
)
⊆
C
l
(
f
(
A
)
)
{\displaystyle \!\,f\left(Cl(A)\right)\subseteq Cl\left(f(A)\right)}
.
אם
A
{\displaystyle \!\,A}
קבוצה קשירה , לכל
A
⊆
B
⊆
C
l
(
A
)
{\displaystyle \!\,A\subseteq B\subseteq Cl(A)}
מתקיים שגם
B
{\displaystyle \!\,B}
קבוצה קשירה.
קבוצה
A
{\displaystyle \!\,A}
במרחב
X
{\displaystyle \!\,X}
המקיימת
C
l
(
A
)
=
X
{\displaystyle \!\,Cl(A)=X}
נקראת קבוצה צפופה .
קבוצה
A
{\displaystyle \!\,A}
במרחב
X
{\displaystyle \!\,X}
המקיימת
I
n
t
(
C
l
(
A
)
)
=
∅
{\displaystyle \!\,Int\left(Cl(A)\right)=\emptyset }
נקראת קבוצה דלילה .
תבנית:נבדק