שדה המספרים הממשיים

שדה המספרים הממשיים (או: השדה הממשי) הוא שדה שאיבריו הם המספרים הממשיים, עם פעולות החיבור והכפל הרגילות. את השדה נהוג לסמן באות $\mathbb {R}$.

נהוג לזהות את שדה המספרים הממשיים עם הישר החד-ממדי האינסופי הרציף, לכן השדה נקרא פעמים רבות "הישר הממשי", בייחוד כאשר רוצים לדבר על תכונות יותר "טופולוגיות" או "גאומטריות" שלו.

תכונות

השדה הממשי הוא שדה סדור. ככזה, הוא שדה סדור שלם: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון (תכונה זו מכונה לעיתים "אקסיומת החסם העליון"); שדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור היחיד המקיים את אקסיומת החסם העליון. מאקסיומת החסם העליון נובע שהשדה הוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה המוגדרת על ידי הערך המוחלט, וגם שהוא ארכימדי, תכונה המייחדת אותו בין כל השדות הסדורים השלמים.

עוצמת קבוצת המספרים הממשיים מכונה עוצמת הרצף, ונהוג לסמנה בסימונים $|\mathbb {R} |$, $\aleph$, ${\mathfrak {c}}$ או $\beth _{1}$. גאורג קנטור הוכיח באמצעות שיטת האלכסון של קנטור כי עוצמת הרצף גדולה מעוצמת קבוצת המספרים הטבעיים (למעשה, היא שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים - $2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}$).

היסטוריה ובנייה

מבחינה היסטורית, השדה הממשי הופיע אחרי שהתברר שהמספרים הרציונליים אינם מספיקים לצרכים גאומטריים, למשל בגלל שאורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו יחידה אחת אינו מספר רציונלי (ראה פיתגוראים). עד סוף המאה ה-19 חשבו על המספרים הממשיים כאורכים של קטעים על ישר אינסופי (כלומר, הבינו את המספרים האלה כעומדים בהתאמה חד-חד ערכית עם הנקודות על הישר), ותפיסה זו עמדה ביסוד התיאור האלגברי של הגאומטריה, באמצעות קואורדינטות קרטזיות (על ידי דקארט). זו גם הסיבה מדוע לעיתים קרובות שדה זה נקרא בשם הישר הממשי.

יש כאן בעיה עקרונית: מצד אחד מנסים להיפטר ממספר גדול של אקסיומות גאומטריות בעזרת ביסוס אלגברי, ומצד שני, האובייקט האלגברי היסודי (השדה הממשי) מוגדר באמצעים גאומטריים. לבעיה זו נמצא פתרון משביע רצון, כאשר ב-1872 פרסם גאורג קנטור מאמר שבו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות חתכי דדקינד פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה.

אפשר להגדיר את השדה הממשי באופן אקסיומטי, כשדה הסדור השלם המינימלי, או כשדה הסדור השלם הארכימדי היחידי.

בנייה באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים

כאמור, ניתן להגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים. לסדרת קושי יש משמעות רק במסגרת של מרחב מטרי, ובבנייה זו נשתמש במספרים הרציונליים, $\mathbb {Q}$, ובמטריקה $d(x,y)=|x-y|$ (כאשר הקווים האנכיים מציינים ערך מוחלט).

תהי $R$ קבוצת כל סדרות קושי ב-$\mathbb {Q}$, כלומר קבוצת כל הסדרות של מספרים רציונליים $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ כך שלכל $\varepsilon >0$ (רציונלי) קיים $N$ טבעי כך שלכל זוג טבעיים $m,n>N$ מתקיים $|x_{m}-x_{n}|<\varepsilon$.

נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס, כלומר הסדרות $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ ו-$\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ שקולות אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ (רציונלי) קיים $N$ טבעי כך שלכל $n>N$ טבעי מתקיים $|x_{n}-y_{n}|<\varepsilon$.
נראה כי הגדרה זו אכן מגדירה יחס שקילות:

• רפלקסיביות: לכל סדרה $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, לכל $\varepsilon >0$ ולכל $n$, מתקיים $|x_{n}-x_{n}|=0<\varepsilon$.
• סימטריות: $|x_{n}-y_{n}|=|y_{n}-x_{n}|$ ולכן אם האחד גדול מ-$\varepsilon$ גם השני גדול ממנו.
• טרנזיטיביות:יהו $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, ו- $\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }$. יהי $\varepsilon >0$ קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|x_{n}-y_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $|y_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N$: $|x_{n}-y_{n}|=|x_{n}-y_{n}+y_{n}-z_{n}|\leq |x_{n}-y_{n}|+|y_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$ (על פי אי שוויון המשולש), לכן $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.

קבוצת המנה (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן $\mathbb {R}$ - זהו שדה המספרים הממשיים.

את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי $q$ מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה $\{q\}_{n=1}^{\infty }$.

את פעולות החיבור והחיסור נגדיר איבר איבר, באופן הבא:
$[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]:=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
$[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]:=[\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
נראה כי ההגדרות לא תלויות בבחירת הנציגים: יהו $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{w_{n}\}_{n=1}^{\infty }$. יש להוכיח כי $\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}+w_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, ו- $\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\cdot w_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.

• חיבור: יהי $\varepsilon >0$. קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|x_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $|y_{n}-w_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N$:

$|x_{n}+y_{n}-z_{n}-w_{n}|\leq |x_{n}-z_{n}|+|y_{n}-w_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$

• כפל: הסדרות $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ חסומות, לכן יהי $A=\max\{\sup\{y_{n}\}_{n=0}^{\infty },\sup\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }\}$. קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|x_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}$ ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $|y_{n}-w_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N$:

$|x_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|=|x_{n}y_{n}-z_{n}y_{n}+z_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|\leq |y_{n}||x_{n}-z_{n}|+|z_{n}||y_{n}-w_{n}|<A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}+A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}=\varepsilon$

פעולות החיסור והחילוק יוגדרו כחיבור בנגדי וכפל בהופכי.

בנוסף, את הסדר על סדרות קושי ב-$\mathbb {Q}$ נגדיר כך: $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }<\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ אם ורק אם קיים r>0 וקיים $N$ טבעי כך שלכל $n>N$ טבעי מתקיים $x_{n}<y_{n}-r$.

ניתן להראות כי ההגדרות הנ"ל אכן הופכות את הקבוצה לשדה סדור שלם.
האקסיומה היחידה שאינה נובעת באופן מיידי היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים סופרמום (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:
תהי $S$ תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי $u$. נגדיר $u_{1}$ כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ-$u$ (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש-$S$ אינה ריקה, קיים מספר רציונלי $l_{1}$ שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי $S$. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם $a_{n}={\frac {u_{n}+l_{n}}{2}}$ חסם מלעיל אז $u_{n+1}=a_{n}$ ו-$l_{n+1}=l_{n}$, אם הוא אינו חסם מלעיל אז $l_{n+1}=a_{n}$ ו-$u_{n+1}=u_{n}$.
קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-$r$. קל להראות באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי $u_{n}$ חסם מלעיל ל-$S$ בעוד ש-$l_{n}$ לא, מעובדה זו נובע כי $r$ חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר. נניח כי $t$ מקיים $t<r$, אז קיים $n_{0}$ טבעי עבורו $t<l_{n_{0}}$, ומכיוון ש-$\{l_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מונוטונית עולה נקבל כי לכל $n\geq n_{0}$ גם מתקיים $t<l_{n}$, אך ראינו כבר ש-$l_{n}$ אינו חסם מלעיל ולכן $t$ שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.

בנייה באמצעות חתכי דדקינד

חתך דדקינד של מספרים רציונליים הוא קבוצה $A$ המקיימת:

• $A\not =\emptyset$
• $A\not =\mathbb {Q}$
• לכל $x\in A$ וגם $y<x$, מתקיים $y\in A$
• ל$A$ אין מקסימום: לא קיים $x\in A$ כך שלכל $y\in A$ מתקיים $y\leq x$.

כל חתך ייצג מספר ממשי.

לכל מספר רציונלי $q$, החתך $\{x:x<q\}$ הוא החתך המייצג את $q$.

עבור מספרים שאינם רציונליים יש צורך למצוא חתך מתאים. למשל עבור ${\sqrt {2}}$ יתאים החתך $\{x:x<0\lor x^{2}<2\}$, ועבור $e=2.71...$ (מספר אוילר) יתאים החתך $\left\{x:\exists n\in \mathbb {N} ,x<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right\}$.

נגדיר את פעולות החיבור והכפל:

• $A+B=\{a+b:a\in A\land b\in B\}$

קישורים חיצוניים

• שדה המספרים הממשיים, באתר MathWorld (באנגלית)